已知函数f（x）=
1
2
x²-x+alnx,（a＞0）．
（1）若a=1，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若f（x）存在两个极值点x₁，x₂，求证：f（x₁）+f（x₂）＞
-
3
-
2
ln
2
4
．

【答案】（1）y=x-

；
（2）a≥

时，f（x）在（0，+∞）单调递增，
0＜a＜

时，f（x）在（0，

）单调递增，在（

，

）单调递减，在（

，+∞）单调递增；
（3）详见证明过程．

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：1280引用：5难度：0.3

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1．已知函数f（x）=（x-a）lnx（a∈R），它的导函数为f'（x）．
（1）当a=1时，求f'（x）的零点；
（2）若函数f（x）存在极小值点，求a的取值范围．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：279引用：8难度：0.4
解析
2．若函数
f
（
x
）
=
e
2
x
4
-
ax
e
x
有两个极值点，则实数a的取值范围为（　　）
A．
（
-
∞
，-
1
2
）
B．
（
-
1
2
，
0
）
C．
（
1
2
，
+
∞
）
D．
（
0
，
1
2
）
发布：2024/12/29 13:30:1组卷：123引用：4难度：0.5
解析
3．定义：设f'（x）是f（x）的导函数，f″（x）是函数f'（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数
f
（
x
）
=
a
x
3
+
b
x
2
+
5
3
（
ab
≠
0
）
的对称中心为（1，1），则下列说法中正确的有（　　）
A．
a
=
1
3
，b=-1
B．函数f（x）既有极大值又有极小值
C．函数f（x）有三个零点
D．过
（
-
1
，
1
3
）
可以作两条直线与y=f（x）图像相切
发布：2024/12/29 13:30:1组卷：181引用：7难度：0.5
解析

已知函数f（x）=12x2-x+alnx,（a＞0）．（1）若a=1，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论f（x）的单调性；（3）若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证：f（x1）+f（x2）＞-3-2ln24．