在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1．
（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；
（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合；圆锥曲线的综合．
【答案】（1）．
（2）证明：设直线PQ的方程为y=kx+b，
因直线PQ与已知圆相切，故，
即b2=2，由
，
得x2-2bx-b2-1=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
，
又y1y2=（x1+b）（x2+b）．
所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2
=2（-1-b2）+2b2+b2
=b2-2=0．
故PO⊥OQ．
（3）证明：当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为．
当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），
则直线OM的方程为y=，由
得
，
所以．
同理，
设O到直线MN的距离为d，
因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，
所以==3，
即d=．
综上，O到直线MN的距离是定值．
2
8
（2）证明：设直线PQ的方程为y=kx+b，
因直线PQ与已知圆相切，故
|
b
|
2
=
1
即b2=2，由
y = kx + b |
2 x 2 - y 2 = 1 |
得x2-2bx-b2-1=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
x 1 + x 2 = 2 b |
x 1 x 2 = - 1 - b 2 |
又y1y2=（x1+b）（x2+b）．
所以
OP
•
OQ
=2（-1-b2）+2b2+b2
=b2-2=0．
故PO⊥OQ．
（3）证明：当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=
2
2
3
3
当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞
2
2
则直线OM的方程为y=
-
1
k
x
y = kx |
4 x 2 + y 2 |
=
1
x 2 = 1 4 + k 2 |
y 2 = k 2 4 + k 2 |
所以
|
ON
|
2
=
1
+
k
2
4
+
k
2
同理
|
OM
|
2
=
1
+
k
2
2
k
2
-
1
设O到直线MN的距离为d，
因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，
所以
1
d
2
=
1
|
OM
|
2
+
1
|
ON
|
2
3
+
3
k
2
k
2
+
1
即d=
3
3
综上，O到直线MN的距离是定值．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：1186引用：15难度：0.3
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