已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为3+22，3-22．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果直线x=t（t∈R）与椭圆相交于A，B，若C（-3，0），D（3，0），证明直线CA与直线BD的交点K必在一条确定的双曲线上；
（3）过点Q（1，0）作直线l（与x轴不垂直）与椭圆交于M、N两点，与y轴交于点R，若RM=λMQ，RN=μNQ，证明：λ+μ为定值．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
3
+
2
2
3
-
2
2
RM
=
λ
MQ
RN
=
μ
NQ
【答案】（1）椭圆方程为；
（2）证明：依题意可设A（t，y0），B（t，-y0），K（x，y），且有
又，
∴，
将代入即得，
所以直线CA与直线BD的交点K必在双曲线上；
（3）证明：依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1），
设M（x3，y3）、N（x4，y4）、R（0，y5），则M、N两点坐标满足方程组
消去y并整理，得（1+9k2）x2-18k2x+9k2-9=0，
所以，①，②
因为，所以（x3，y3）-（0，y5）=λ[（1，0）-（x3，y3）]，
即
，所以x3=λ（1-x3），
又l与x轴不垂直，所以x3≠1，
所以，同理，
所以=，
将①②代入上式可得．
x
2
9
+
y
2
=
1
（2）证明：依题意可设A（t，y0），B（t，-y0），K（x，y），且有
t
2
9
+
y
0
2
=
1
又
CA
：
y
=
y
0
t
+
3
（
x
+
3
）
，
DB
：
y
=
-
y
0
t
-
3
（
x
-
3
）
∴
y
2
=
-
y
2
0
t
2
-
9
（
x
2
-
9
）
将
t
2
9
+
y
0
2
=
1
y
2
=
1
9
（
x
2
-
9
）
，
x
2
9
-
y
2
=
1
所以直线CA与直线BD的交点K必在双曲线
x
2
9
-
y
2
=
1
（3）证明：依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1），
设M（x3，y3）、N（x4，y4）、R（0，y5），则M、N两点坐标满足方程组
y = k （ x - 1 ） |
x 2 9 + y 2 = 1 . |
消去y并整理，得（1+9k2）x2-18k2x+9k2-9=0，
所以
x
3
+
x
4
=
18
k
2
1
+
9
k
2
x
3
x
4
=
9
k
2
-
9
1
+
9
k
2
因为
RM
=
λ
MQ
即
x 3 = λ （ 1 - x 3 ） |
y 3 - y 5 = - λ y 3 . |
又l与x轴不垂直，所以x3≠1，
所以
λ
=
x
3
1
-
x
3
μ
=
x
4
1
-
x
4
所以
λ
+
μ
=
x
3
1
-
x
3
+
x
4
1
-
x
4
（
x
3
+
x
4
）
-
2
x
3
x
4
1
-
（
x
3
+
x
4
）
+
x
3
x
4
将①②代入上式可得
λ
+
μ
=
-
9
4
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：67引用：7难度：0.3
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