综合与实践：提出问题：如图，在长方形ACDF中，AC=DF，点B在CD上，点E在DF上．BC=DE=a,AC=BD=b,AB=BE=c,且AB⊥BE．求a、b、c之间的数量关系．探究问题：某校数学社团成员在探究a、b、c之间的数量关系时，利用学习多项式乘以多项式中积累的方法发现可以利用长方形的面积来探究a、b、c之间的数量关系．长方形ACDF的面积S可以用两种不同的方法表示：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到S；另一种是将长方形ACDF看成是由△ABC，△BDE，△AEF，△ABE组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到S．请根据以上材料，填空：
方法一：S=ab+b2ab+b2；
方法二，S=S△ABC+S△BDE+S△AEF+S△ABE=ab+12b2-12a2+12c2．
问题解决：
（1）由于方法一和方法二表示的都是长方形ACDP的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求a,b,c之间的等量关系（需要化简）．
（2）请直接运用（1）中的结论，求当a=3，c=5时S的值．
1
2
b
2
-
1
2
a
2
+
1
2
c
2
【考点】完全平方公式的几何背景．
【答案】ab+b2
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/7 8:0:9组卷：47引用：1难度：0.5
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1．如图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均匀分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于 ；
（2）请你用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积，方法一：，方法二：；
（3）观察图②，你能写出代数式（m+n）2，（m-n）2，mn之间的关系吗？
（4）应用：已知m+n=11，mn=28（m＞n），求m,n的值．
发布：2025/6/8 11:0:1组卷：59引用：1难度：0.6 -
2．小明同学用4张长为x,宽为y的长方形，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠、没有空隙）．
（1）通过计算小正方形的面积，写出（x+y）2，y,（x-y）2三者的等量关系；
（2）利用（1）中的结论，试求：当x+y=6，xy=5，求图中小正方形的边长．发布：2025/6/8 9:30:1组卷：4引用：1难度：0.6 -
3．【知识生成】我们已经知道，多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．例如利用图1的面积可以得到（a+b）2=a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）请你写出图2所表示的一个等式：．
（2）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z=．
【知识迁移】（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些等式，图4表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．发布：2025/6/8 10:30:2组卷：85引用：2难度：0.6
