已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+6=0相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求OA•OB的取值范围；
（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．
x
2
a
2
y
2
b
2
1
2
6
OA
OB
【答案】（1）；
（2））；
（3）证明：∵B，E关于x轴对称
∴可设E（x2，-y2）
∴直线AE的方程为
令y=0可得x=
∵y1=k（x1-4），y2=k（x2-4）
∴==1
∴直线AE与x轴交于定点（1，0）．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）
[
-
4
，
13
4
（3）证明：∵B，E关于x轴对称
∴可设E（x2，-y2）
∴直线AE的方程为
y
-
y
1
=
y
1
+
y
2
x
1
-
x
2
（
x
-
x
1
）
令y=0可得x=
x
1
-
y
1
（
x
1
-
x
2
）
y
1
+
y
2
∵y1=k（x1-4），y2=k（x2-4）
∴
x
=
2
x
1
x
2
-
4
（
x
1
+
x
2
）
x
1
+
x
2
-
8
2
×
64
k
2
-
12
3
+
4
k
2
-
4
×
32
k
2
3
+
4
k
2
32
k
2
3
+
4
k
2
-
8
∴直线AE与x轴交于定点（1，0）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：507引用：29难度：0.5
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