如图在平面直角坐标系中已知抛物线y=12x2+32x-2交x轴于点A、B，交y轴于点C．
（1）求线段BC的长；
（2）点P为第三象限内抛物线上一点，连接BP，过点C作CE∥BP交x轴于点E，连接PE，求△BPE面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，以y轴为对称轴，将抛物线y=12x2+32x-2对称，对称后点P的对应点为点P′，点M为对称后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点A、P′、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，则请说明理由．
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【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）2；
（2）△BPE面积的最大值为4，此时点P的坐标（-2，-3）；
（3）存在点N，其坐标为：（2.5，-3）或（2.5，--3）或（，）或（，-）．
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（2）△BPE面积的最大值为4，此时点P的坐标（-2，-3）；
（3）存在点N，其坐标为：（2.5，
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【解答】
【点评】
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发布：2024/7/6 8:0:9组卷：590引用：3难度：0.3
相似题
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1．如图，抛物线
与x轴交于A，B两点，点y=-13x2+bx+83在抛物线上．CD⊥x轴于点D．C（-3，53）
（1）请直接写出抛物线的解析式；
（2）连接AC，E为抛物线上一点，当∠EAB=∠ACD时，求点E的坐标；
（3）直线BF：y=kx-2k（k＜0）交抛物线于另一点F，交直线x=-1于点P，过F作FT⊥直线y=3于点T，当时，求k的值．PF=2PT发布：2025/6/9 14:30:1组卷：183引用：1难度：0.3 -
2．在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+3（b为常数）经过点B（4，-5），点A在抛物线上，其横坐标为m,将此抛物线上A、B两点间的部分（包括A、B两点）记为图象G．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当m=-3时，求图象G的最高点与最低点纵坐标的差；
（3）当图象G与直线y=m+2有一个交点时，求m的取值范围；
（4）已知点C（2m-3，-5），D（2m-3，m+1），E（4，m+1），顺次连结BC、CD、DE、EB得到矩形BCDE，当图形G与该矩形的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．发布：2025/6/9 15:0:1组卷：183引用：1难度：0.1 -
3．如图（1），抛物线y=x2+2x-3交x轴于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于C点，D是抛物线上一点．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标：A ，B ，C ；
（2）若点D到直线AC的距离等于t,当t为何值时，这样的D点有且仅有3个；
（3）如图（2），当D在第二象限时，连接BD，CD，若tan∠BDC=，求D点坐标．13发布：2025/6/9 15:30:2组卷：401引用：2难度：0.3
