如图在平面直角坐标系中已知抛物线y=12x2+32x-2交x轴于点A、B,交y轴于点C.
(1)求线段BC的长;
(2)点P为第三象限内抛物线上一点,连接BP,过点C作CE∥BP交x轴于点E,连接PE,求△BPE面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,以y轴为对称轴,将抛物线y=12x2+32x-2对称,对称后点P的对应点为点P′,点M为对称后的抛物线对称轴上一点,N为平面内一点,是否存在以点A、P′、M、N为顶点的四边形是菱形,若存在,直接写出点N的坐标,若不存在,则请说明理由.

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【考点】二次函数综合题.
【答案】(1)2;
(2)△BPE面积的最大值为4,此时点P的坐标(-2,-3);
(3)存在点N,其坐标为:(2.5,-3)或(2.5,--3)或(,)或(,-).
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(2)△BPE面积的最大值为4,此时点P的坐标(-2,-3);
(3)存在点N,其坐标为:(2.5,
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【解答】
【点评】
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发布:2024/7/6 8:0:9组卷:590引用:3难度:0.3
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1.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为菱形,点C的坐标为(4,0),∠AOC=60°,垂直于x轴的直线l从y轴出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).
(1)求A、B两点的坐标;
(2)设△OMN的面积为S,直线l运动时间为t秒(0≤t≤6),试求S与t的函数表达式;
(3)在题(2)的条件下,t为何值时,S的面积最大?最大面积是多少?发布:2025/6/9 17:0:1组卷:570引用:26难度:0.1 -
2.如图,直线l:y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,抛物线y=ax2-2ax+a+4(a<0)经过点B.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连接AM、BM,设点M的横坐标为m,△ABM的面积为S,求S与m的函数表达式,并求出S的最大值;
(3)在(2)的条件下,当S取得最大值时,动点M相应的位置记为点M′.
①写出点M′的坐标;
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′,当直线l′与直线AM′重合时停止旋转,在旋转过程中,直线l′与线段BM′交于点C,设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2,当d1+d2最大时,求直线l′旋转的角度(即∠BAC的度数).发布:2025/6/9 17:0:1组卷:5423引用:12难度:0.1 -
3.已知抛物线y=3ax2+2bx+c,
(1)若a=b=1,c=-1,求该抛物线与x轴交点的坐标;
(2)若a=b=1,且当-1<x<1时,抛物线与x轴有且只有一个交点.求c的取值范围;
(3)若a+b+c=0,且x1=0时,对应的y1>0;x2=1时,对应的y2>0,试判断当0<x<1时,抛物线与x轴是否有交点?若有,请证明你的结论;若没有,阐述理由.发布:2025/6/9 16:0:2组卷:365引用:2难度:0.1