如图在平面直角坐标系中已知抛物线y=12x2+32x-2交x轴于点A、B，交y轴于点C．
（1）求线段BC的长；
（2）点P为第三象限内抛物线上一点，连接BP，过点C作CE∥BP交x轴于点E，连接PE，求△BPE面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，以y轴为对称轴，将抛物线y=12x2+32x-2对称，对称后点P的对应点为点P′，点M为对称后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点A、P′、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，则请说明理由．
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【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）2；
（2）△BPE面积的最大值为4，此时点P的坐标（-2，-3）；
（3）存在点N，其坐标为：（2.5，-3）或（2.5，--3）或（，）或（，-）．
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（2）△BPE面积的最大值为4，此时点P的坐标（-2，-3）；
（3）存在点N，其坐标为：（2.5，
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【解答】
【点评】
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发布：2024/7/6 8:0:9组卷：590引用：3难度：0.3
相似题
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1．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N的上方）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒（0≤t≤6），试求S与t的函数表达式；
（3）在题（2）的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？发布：2025/6/9 17:0:1组卷：570引用：26难度：0.1 -
2．如图，直线l：y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2-2ax+a+4（a＜0）经过点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m,△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．
①写出点M′的坐标；
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．
发布：2025/6/9 17:0:1组卷：5423引用：12难度：0.1 -
3．已知抛物线y=3ax2+2bx+c,
（1）若a=b=1，c=-1，求该抛物线与x轴交点的坐标；
（2）若a=b=1，且当-1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个交点．求c的取值范围；
（3）若a+b+c=0，且x1=0时，对应的y1＞0；x2=1时，对应的y2＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有交点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．发布：2025/6/9 16:0:2组卷：365引用：2难度：0.1
