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如图在平面直角坐标系中已知抛物线y=
1
2
x2+
3
2
x-2交x轴于点A、B,交y轴于点C.
(1)求线段BC的长;
(2)点P为第三象限内抛物线上一点,连接BP,过点C作CE∥BP交x轴于点E,连接PE,求△BPE面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,以y轴为对称轴,将抛物线y=
1
2
x2+
3
2
x-2对称,对称后点P的对应点为点P′,点M为对称后的抛物线对称轴上一点,N为平面内一点,是否存在以点A、P′、M、N为顶点的四边形是菱形,若存在,直接写出点N的坐标,若不存在,则请说明理由.

【考点】二次函数综合题
【答案】(1)2
5

(2)△BPE面积的最大值为4,此时点P的坐标(-2,-3);
(3)存在点N,其坐标为:(2.5,
39
2
-3)或(2.5,-
39
2
-3)或(
1
2
39
2
)或(
1
2
,-
39
2
).
【解答】
【点评】
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发布:2024/7/6 8:0:9组卷:590引用:3难度:0.3
相似题
  • 1.如图,抛物线
    y
    =
    -
    1
    3
    x
    2
    +
    bx
    +
    8
    3
    与x轴交于A,B两点,点
    C
    -
    3
    5
    3
    在抛物线上.CD⊥x轴于点D.

    (1)请直接写出抛物线的解析式;
    (2)连接AC,E为抛物线上一点,当∠EAB=∠ACD时,求点E的坐标;
    (3)直线BF:y=kx-2k(k<0)交抛物线于另一点F,交直线x=-1于点P,过F作FT⊥直线y=3于点T,当
    PF
    =
    2
    PT
    时,求k的值.

    发布:2025/6/9 14:30:1组卷:183引用:1难度:0.3
  • 2.在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+3(b为常数)经过点B(4,-5),点A在抛物线上,其横坐标为m,将此抛物线上A、B两点间的部分(包括A、B两点)记为图象G.
    (1)求此抛物线的解析式;
    (2)当m=-3时,求图象G的最高点与最低点纵坐标的差;
    (3)当图象G与直线y=m+2有一个交点时,求m的取值范围;
    (4)已知点C(2m-3,-5),D(2m-3,m+1),E(4,m+1),顺次连结BC、CD、DE、EB得到矩形BCDE,当图形G与该矩形的边有两个公共点时,直接写出m的取值范围.

    发布:2025/6/9 15:0:1组卷:183引用:1难度:0.1
  • 3.如图(1),抛物线y=x2+2x-3交x轴于A,B两点(A在B的左边),与y轴交于C点,D是抛物线上一点.
    (1)直接写出A,B,C三点的坐标:A
    ,B
    ,C

    (2)若点D到直线AC的距离等于t,当t为何值时,这样的D点有且仅有3个;
    (3)如图(2),当D在第二象限时,连接BD,CD,若tan∠BDC=
    1
    3
    ,求D点坐标.

    发布:2025/6/9 15:30:2组卷:401引用:2难度:0.3
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