已知定点A（-1，0），F（2，0），定直线l：x=12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．
1
2
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【答案】（Ⅰ）x2-=1（y≠0）；
（Ⅱ）以线段MN为直径的圆经过点F．
①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x-2）（k≠0）
与双曲线x2-=1联立消去y得（3-k2）x2+4k2x-（4k2+3）=0
由题意知3-k2≠0且Δ＞0
设B（x1，y1），C（x2，y2），则
y1y2=k2（x1-2）（x2-2）=k2[x1x2-2（x1+x2）+4]=k2（+4）=
因为x1、x2≠-1，所以直线AB的方程为y=（x+1）
因此M点的坐标为（），
同理可得
因此==0
②当直线BC与x轴垂直时，直线方程为x=2，则B（2，3），C（2，-3）
AB的方程为y=x+1，因此M点的坐标为（），
同理可得
因此=0
综上=0，即FM⊥FN
故以线段MN为直径的圆经过点F．
y
2
3
（Ⅱ）以线段MN为直径的圆经过点F．
①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x-2）（k≠0）
与双曲线x2-
y
2
3
由题意知3-k2≠0且Δ＞0
设B（x1，y1），C（x2，y2），则
x 1 + x 2 = 4 k 2 k 2 - 3 |
x 1 x 2 = 4 k 2 + 3 k 2 - 3 |
y1y2=k2（x1-2）（x2-2）=k2[x1x2-2（x1+x2）+4]=k2（
4
k
2
+
3
k
2
-
3
-
8
k
2
k
2
-
3
-
9
k
2
k
2
-
3
因为x1、x2≠-1，所以直线AB的方程为y=
y
1
x
1
+
1
因此M点的坐标为（
1
2
，
3
y
1
2
（
x
1
+
1
）
FM
=
（
-
3
2
，
3
y
1
2
（
x
1
+
1
）
）
同理可得
FN
=
（
-
3
2
，
3
y
2
2
（
x
2
+
1
）
）
因此
FM
•
FN
=
（
-
3
2
）
2
+
9
y
1
y
2
4
（
x
1
+
1
）
（
x
2
+
1
）
4
9
+
-
81
k
2
k
2
-
3
4
（
4
k
2
+
3
k
2
-
3
+
4
k
2
k
2
-
3
+
1
）
②当直线BC与x轴垂直时，直线方程为x=2，则B（2，3），C（2，-3）
AB的方程为y=x+1，因此M点的坐标为（
1
2
，
3
2
FM
=
（
-
3
2
，
3
2
）
同理可得
FN
=
（
-
3
2
，-
3
2
）
因此
FM
•
FN
=
（
-
3
2
）
2
+
3
2
×
（
-
3
2
）
综上
FM
•
FN
故以线段MN为直径的圆经过点F．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：877引用：13难度：0.3
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