已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点（0，1），其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足PM=λ1MQ，PN=λ2NQ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若λ1+λ2=-3，试证明：直线l过定点并求此定点．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
PM
=
λ
1
MQ
，
PN
=
λ
2
NQ
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【答案】（1）；
（2）由题意设P（0，m），Q（x0，0），M（x1，y1），N（x2，y2），
设l方程为x=t（y-m），
由，知（x1，y1-m）=λ1（x0-x1，-y1）
∴y1-m=-y1λ1，由题意λ1≠0，∴，
同理由知，，
∵λ1+λ2=-3，∴y1y2+m（y1+y2）=0（*），
联立
，得（t2+3）y2-2mt2y+t2m2-3=0，
∴需Δ=4m2t4-4（t2+3）（t2m2-3）＞0（**）
且有（***），
（***）代入（*）得t2m2-3+m•2mt2=0，∴（mt）2=1，
∵直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，
∴由题意mt＜0，∴mt=-1（满足（**）），
得l方程为x=ty+1，过定点（1，0），即（1，0）为定点．
x
2
3
+
y
2
=
1
（2）由题意设P（0，m），Q（x0，0），M（x1，y1），N（x2，y2），
设l方程为x=t（y-m），
由
PM
=
λ
1
MQ
∴y1-m=-y1λ1，由题意λ1≠0，∴
λ
1
=
m
y
1
-
1
同理由
PN
=
λ
2
NQ
λ
2
=
m
y
2
-
1
∵λ1+λ2=-3，∴y1y2+m（y1+y2）=0（*），
联立
x 2 + 3 y 2 = 3 |
x = t （ y - m ） |
∴需Δ=4m2t4-4（t2+3）（t2m2-3）＞0（**）
且有
y
1
+
y
2
=
2
m
t
2
t
2
+
3
，
y
1
y
2
=
t
2
m
2
-
3
t
2
+
3
（***）代入（*）得t2m2-3+m•2mt2=0，∴（mt）2=1，
∵直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，
∴由题意mt＜0，∴mt=-1（满足（**）），
得l方程为x=ty+1，过定点（1，0），即（1，0）为定点．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：649引用：13难度：0.5
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（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O为坐标原点．E：x2a2-y2b2=1
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