已知函数
f
（
x
）
=
xlnx
-
1
2
m
x
2
-
x
,
m
∈
R
．
（1）若g（x）=f′（x）（f′（x）为f（x）的导函数），求函数g（x）的单调区间；
（2）求函数g（x）在区间[1，e]上的最大值；
（3）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁≠x₂），求证：
1
ln
x
1
+
1
ln
x
2
＞
2
．

【答案】（1）当m≤0时，g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当m＞0时，g（x）在（0，

）上单调递减，在（

，+∞）上单调递增．
（2）当m≤

时，最大值为g（e）=1-me，
当

＜m＜1时，最大值为g（

）=-lnm-1，
当m≥1时，最大值为g（1）=-m．
（3）证明详情见解答．

【解答】

【点评】

声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。

发布：2024/5/24 8:0:9组卷：75引用：1难度：0.6

相似题

1．已知函数
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若关于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
发布：2025/1/5 18:30:5组卷：297引用：2难度：0.4
解析
2．已知函数f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的图象在x=-1处的切线斜率为-1，且x=-2时，y=f（x）有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．
发布：2024/12/29 12:30:1组卷：48引用：4难度：0.5
解析
3．已知函数f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有三个极值点x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范围；
②求证：x₁+x₂+x₃＞-2．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：187引用：2难度：0.1
解析

1．已知函数f（x）=ln2+x2-x+1，若关于x的不等式f（kex）+f（-12x）＞2对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（ ）