已知点A是椭圆C：x29+y2t=1（t＞0）的左顶点，直线l：x=my+1（m∈R）与椭圆C相交于E，F两点，与x轴相交于点B．且当m=0时，△AEF的面积为163．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AE，AF与直线x=3分别交于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是否经过点B？并请说明理由．
C
：
x
2
9
+
y
2
t
=
1
（
t
＞
0
）
16
3
【考点】直线与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．
【答案】（1）；
（2）证明：由
得（2m2+9）y2+4my-16=0，显然m∈R．
设E（x1，y1），F（x2，y2），
则，x1=my1+1，x2=my2+1．
又直线AE的方程为，
由
解得，同理得．
所以，
又因为==
===0．
所以，所以以MN为直径的圆过点B．
x
2
9
+
y
2
2
=
1
（2）证明：由
x 2 9 + y 2 2 = 1 |
x = my + 1 |
设E（x1，y1），F（x2，y2），
则
y
1
+
y
2
=
-
4
m
2
m
2
+
9
，
y
1
y
2
=
-
16
2
m
2
+
9
又直线AE的方程为
y
=
y
1
x
1
+
3
（
x
+
3
）
由
y = y 1 x 1 + 3 （ x + 3 ） |
x = 3 |
M
（
3
，
6
y
1
x
1
+
3
）
N
（
3
，
6
y
2
x
2
+
3
）
所以
BM
=
（
2
，
6
y
1
x
1
+
3
）
，
BN
=
（
2
，
6
y
2
x
2
+
3
）
又因为
BM
•
BN
=
（
2
，
6
y
1
x
1
+
3
）
•
（
2
，
6
y
2
x
2
+
3
）
4
+
36
y
1
y
2
（
x
1
+
3
）
（
x
2
+
3
）
=
4
+
36
y
1
y
2
（
m
y
1
+
4
）
（
m
y
2
+
4
）
4
（
m
y
1
+
4
）
（
m
y
2
+
4
）
+
36
y
1
y
2
m
2
y
1
y
2
+
4
m
（
y
1
+
y
2
）
+
16
=
-
16
（
4
m
2
+
36
）
-
16
×
4
m
2
+
16
×
4
（
2
m
2
+
9
）
-
32
m
2
+
16
（
2
m
2
+
9
）
-
64
m
2
-
576
-
64
m
2
+
128
m
2
+
576
9
所以
BM
⊥
BN
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：69引用：6难度：0.5
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