已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（-2，0）、B（2，0）、C（1，32）三点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．
C
（
1
，
3
2
）
【考点】直线与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．
【答案】（Ⅰ）椭圆E的方程为；
（Ⅱ）证法一：将直线l：y=k（x-1）代入椭圆E的方程并整理，得（3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0，…（6分）
设直线l与椭圆E的交点M（x1，y1），N（x2，y2），
由根与系数的关系，得，． …（8分）
直线AM的方程为：，它与直线x=4的交点坐标为，同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标为． …（10分）
下面证明P、Q两点重合，即证明P、Q两点的纵坐标相等：P
∵y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
∴=．
因此结论成立．
综上可知，直线AM与直线BN的交点在直线x=4上． …（14分）
证法二：将直线l：y=k（x-1），代入椭圆E的方程并整理，得（3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0，…（6分）
设直线l与椭圆E的交点M（x1，y1），N（x2，y2），
由根与系数的关系，得，． …（8分）
直线AM的方程为：，即．
直线BN的方程为：，即． …（10分）
由直线AM与直线BN的方程消去y，得=．
∴直线AM与直线BN的交点在直线x=4上． …（14分）
证法三：将直线l：y=k（x-1），代入椭圆方程并整理，得（3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0，…（6分）
设直线l与椭圆E的交点M（x1，y1），N（x2，y2），
由根与系数的关系，得，． …（8分）
消去k2得，2x1x2=5（x1+x2）-8． …（10分）
直线AM的方程为：，即．
直线BN的方程为：，即． …（12分）
由直线AM与直线BN的方程消去y得，．
∴直线AM与直线BN的交点在直线x=4上． …（14分）
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（Ⅱ）证法一：将直线l：y=k（x-1）代入椭圆E的方程
x
2
4
+
y
2
3
=
1
设直线l与椭圆E的交点M（x1，y1），N（x2，y2），
由根与系数的关系，得
x
1
+
x
2
=
8
k
2
3
+
4
k
2
x
1
x
2
=
4
（
k
2
-
3
）
3
+
4
k
2
直线AM的方程为：
y
=
y
1
x
1
+
2
（
x
+
2
）
P
（
4
，
6
y
1
x
1
+
2
）
Q
（
4
，
2
y
2
x
2
-
2
）
下面证明P、Q两点重合，即证明P、Q两点的纵坐标相等：P
∵y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
∴
6
y
1
x
1
+
2
-
2
y
2
x
2
-
2
=
6
k
（
x
1
-
1
）
（
x
2
-
2
）
-
2
k
（
x
2
-
1
）
（
x
1
+
2
）
（
x
1
+
2
）
（
x
2
-
2
）
2
k
[
2
x
1
x
2
-
5
（
x
1
+
x
2
）
+
8
]
（
x
1
+
2
）
（
x
2
-
2
）
=
2
k
[
8
（
k
2
-
3
）
3
+
4
k
2
-
40
k
2
3
+
4
k
2
+
8
]
（
x
1
+
2
）
（
x
2
-
2
）
=
0
因此结论成立．
综上可知，直线AM与直线BN的交点在直线x=4上． …（14分）
证法二：将直线l：y=k（x-1），代入椭圆E的方程
x
2
4
+
y
2
3
=
1
设直线l与椭圆E的交点M（x1，y1），N（x2，y2），
由根与系数的关系，得
x
1
+
x
2
=
8
k
2
3
+
4
k
2
x
1
x
2
=
4
（
k
2
-
3
）
3
+
4
k
2
直线AM的方程为：
y
=
y
1
x
1
+
2
（
x
+
2
）
y
=
k
（
x
1
-
1
）
x
1
+
2
（
x
+
2
）
直线BN的方程为：
y
=
y
2
x
2
-
2
（
x
-
2
）
y
=
k
（
x
2
-
1
）
x
2
-
2
（
x
-
2
）
由直线AM与直线BN的方程消去y，得
x
=
2
（
2
x
1
x
2
-
3
x
1
+
x
2
）
x
1
+
3
x
2
-
4
=
2
[
2
x
1
x
2
-
3
（
x
1
+
x
2
）
+
4
x
2
]
（
x
1
+
x
2
）
+
2
x
2
-
4
2
[
8
（
k
2
-
3
）
3
+
4
k
2
-
24
k
2
3
+
4
k
2
+
4
x
2
]
8
k
2
3
+
4
k
2
-
4
+
2
x
2
=
4
（
-
4
k
2
+
6
3
+
4
k
2
+
x
2
）
-
4
k
2
+
6
3
+
4
k
2
+
x
2
=
4
∴直线AM与直线BN的交点在直线x=4上． …（14分）
证法三：将直线l：y=k（x-1），代入椭圆方程
x
2
4
+
y
2
3
=
1
设直线l与椭圆E的交点M（x1，y1），N（x2，y2），
由根与系数的关系，得
x
1
+
x
2
=
8
k
2
3
+
4
k
2
x
1
x
2
=
4
（
k
2
-
3
）
3
+
4
k
2
消去k2得，2x1x2=5（x1+x2）-8． …（10分）
直线AM的方程为：
y
=
y
1
x
1
+
2
（
x
+
2
）
y
=
k
（
x
1
-
1
）
x
1
+
2
（
x
+
2
）
直线BN的方程为：
y
=
y
2
x
2
-
2
（
x
-
2
）
y
=
k
（
x
2
-
1
）
x
2
-
2
（
x
-
2
）
由直线AM与直线BN的方程消去y得，
x
=
2
（
2
x
1
x
2
-
3
x
1
+
x
2
）
x
1
+
3
x
2
-
4
=
2
[
5
（
x
1
+
x
2
）
-
8
-
3
x
1
+
x
2
]
x
1
+
3
x
2
-
4
=
4
∴直线AM与直线BN的交点在直线x=4上． …（14分）
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：97引用：4难度：0.1
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