已知椭圆C的方程：x24+y22=1．
（1）椭圆上一点H（2，1），AB是过椭圆中心的一条弦，且HA、HB与两坐标轴均不平行．求KHA•KHB的值；
（2）已知M（1，62），P、Q是椭圆C上的两个动点（P、Q与M均不重合），F为椭圆的左焦点，且|PF|，|MF|，|QF|依次成等差数列．求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点E，并求出E的坐标．
x
2
4
+
y
2
2
=
1
H
（
2
，
1
）
M
（
1
，
6
2
）
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【答案】（1）；
（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由椭圆的标准方程为+=1，
可知|PF|=2+x1，同理|QF|=2+x2，
|MF|==2+，
∵2|MF|=|PF|+|QF|，
∴2（2+）=4+（x1+x2），∴x1+x2=2．
（ⅰ）当x1≠x2时，由
，
得-+2（-）=0，
∴=-•．
设线段PQ的中点为N（1，n），由kPQ==-，
得线段PQ的中垂线方程为y-n=2n（x-1），
∴（2x-1）n-y=0，
该直线恒过一定点A（，0）．
（ⅱ）当x1=x2时，P（1，-），Q（1，）或P（1，），Q（1，-），
线段PQ的中垂线是x轴，也过点A（，0）．
综上，线段PQ的中垂线过定点A（，0）．
K
HA
•
K
HB
=
-
1
2
（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由椭圆的标准方程为
x
2
4
y
2
2
可知|PF|=2+
2
2
2
2
|MF|=
（
1
+
2
）
2
+
（
6
2
）
2
2
2
∵2|MF|=|PF|+|QF|，
∴2（2+
2
2
2
2
（ⅰ）当x1≠x2时，由
x 1 2 + 2 y 1 2 = 4 |
x 2 2 + 2 y 2 2 = 4 |
得
x
2
1
x
2
2
y
2
1
y
2
2
∴
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
1
2
x
1
+
x
2
y
1
+
y
2
设线段PQ的中点为N（1，n），由kPQ=
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
1
2
n
得线段PQ的中垂线方程为y-n=2n（x-1），
∴（2x-1）n-y=0，
该直线恒过一定点A（
1
2
（ⅱ）当x1=x2时，P（1，-
6
2
6
2
6
2
6
2
线段PQ的中垂线是x轴，也过点A（
1
2
综上，线段PQ的中垂线过定点A（
1
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：34引用：2难度：0.1
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