已知函数
f
（
x
）
=
e
x
+
a
2
x
2
-
x
+
1
．
（1）当a=2时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，
f
（
x
）
≥
1
2
x
3
-
a
2
x
2
+
2
，求a的取值范围；
（3）已知函数
t
（
x
）
=
ln
（
x
+
1
）
+
x
f
（
x
）
-
e
x
-
a
2
x
2
-
2
，对任意的n∈N^*，求证：
1
n
+
1
+
1
n
+
2
+
⋯
+
1
2
n
＜
ln
2
．

【答案】（1）f（x）在（0，+∞）上递增，在（-∞，0）上递减；
（2）

[

，

∞

）

；
（3）证明见解析．

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/14 8:0:9组卷：158引用：2难度：0.2

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1．已知函数
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若关于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
发布：2025/1/5 18:30:5组卷：297引用：2难度：0.4
解析
2．已知函数f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的图象在x=-1处的切线斜率为-1，且x=-2时，y=f（x）有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．
发布：2024/12/29 12:30:1组卷：48引用：4难度：0.5
解析
3．已知函数f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有三个极值点x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范围；
②求证：x₁+x₂+x₃＞-2．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：188引用：2难度：0.1
解析

已知函数f（x）=ex+a2x2-x+1．（1）当a=2时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥12x3-a2x2+2，求a的取值范围；（3）已知函数t（x）=ln（x+1）+xf（x）-ex-a2x2-2，对任意的n∈N*，求证：1n+1+1n+2+⋯+12n＜ln2．