综合与实践
问题情境：
在矩形ABCD中，E是BC边上的一点，过点E作对角线BD的垂线，垂足为点F，点G是DE的中点，连接CG，FG．
小试牛刀：
（1）如图1，若ABBC=33，直接写出线段FG与CG的数量关系以及∠CGF的度数．
变式探究：
（2）如图2，在（1）的条件下，将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转，使点F落在CB边的延长线上，其余条件不变，请探究（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
拓展延伸：
（3）将△BEF绕点B逆时针旋转（旋转角小于360°），请探究下列问题：
①若将“矩形ABCD”变为“正方形ABCD”，其余条件不变，请在图3中画出旋转到某一位置的图形，并直接写出线段FG与CG的数量关系以及∠CGF的度数；
②连接CF，若要保证△BEF绕点B逆时针旋转过程中，△CFG始终为等边三角形，写出矩形ABCD应满足的条件．
AB
BC
=
3
3
【考点】四边形综合题．
【答案】（1）FG=CG，∠CGF=120°；
（2）（1）中结论仍然成立，证明见解析；
（3）①FG=CG，∠CGF=90°；②要保证△BEF绕点B逆时针旋转过程中，△CGF始终为等边三角形，则矩形ABCD应满足的条件为．
（2）（1）中结论仍然成立，证明见解析；
（3）①FG=CG，∠CGF=90°；②要保证△BEF绕点B逆时针旋转过程中，△CGF始终为等边三角形，则矩形ABCD应满足的条件为
CD
CB
=
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：158引用：3难度：0.1
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1．“矩形的折叠”活动课上引导学生对矩形纸片进行折叠．
如图，将矩形纸片ABCD折叠，点A与点D重合，点C与点B重合，将纸片展开，折痕为EF，在AD边上找一点P，沿CP将△PCD折叠，得到△PCQ，点D的对应点为点Q．
问题提出：
（1）若点Q落在EF上，CD=2，连接BQ．
①△CQB是 三角形；
②若△CQB是等边三角形，则AD的长为 ．
深入探究：
（2）在（1）的条件下，当AD=2时，判断△CQB的形状并证明；2
拓展延伸；
（3）若AB=6，AD=8，其他条件不变，当点Q落在矩形ABFE内部（包括边）时，连接AQ，直接写出AQ的取值范围．发布：2025/5/22 16:30:1组卷：236引用：2难度：0.3 -
2．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作：
操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连结PM、BM，延长PM交CD于点Q，连结BQ．
（2）探究：
①如图①，当点M在EF上时，∠EMB=°．
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A、D重合），如图②，判断MQ与CQ的数量关系，并说明理由．
（3）拓展：若正方形纸片ABCD的边长为8，当FQ=1时，直接写出AP的长．发布：2025/5/22 16:30:1组卷：398引用：2难度：0.3 -
3．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，作PM⊥AD交直线AB于点M，交直线BC于点F，设△PQM与菱形ABCD重叠部分图形的面积 为s（平方单位），点P运动时间为t（秒）．
（1）当点M与点B重合时，则t=；
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（3）以线段PQ为边，在PQ右侧作等边△PQE，当2≤t≤4时，求点E运动路径的长．发布：2025/5/22 17:0:1组卷：407引用：5难度：0.3
