已知双曲线C：x2-y23=1与直线l：y=kx+m（k≠±3）有唯一的公共点．
（1）点Q（2，3）在直线l上，求直线l的方程；
（2）设点F1，F2分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为△AF1F2，△BF1F2的内心．
①点M的横坐标是否为定值？若是，求出横坐标的值；若不是，请说明理由；
②求kMF2+kNF2的取值范围．
C
：
x
2
-
y
2
3
=
1
l
：
y
=
kx
+
m
（
k
≠±
3
）
k
M
F
2
+
k
N
F
2
【考点】直线与圆锥曲线的综合；双曲线的几何特征．
【答案】（1）y=2x-1；
（2）①是定值，定值为1．
②．
（2）①是定值，定值为1．
②
（
-
2
3
3
，
2
3
3
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/9/29 8:0:1组卷：111引用：4难度：0.5
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1．点P在以F1，F2为焦点的双曲线
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O为坐标原点．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P1，P2两点，且，OP1•OP2=-274，求双曲线E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若过点Q（m,0）（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且（λ为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使MQ=λQN？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．F1F2⊥（GM-λGN）发布：2024/12/29 10:0:1组卷：72引用：5难度：0.7 -
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．5
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