在平面直角坐标系xOy中有两定点F1（0，3），F2（0，-3），若动点M满足|MF1|+|MF2|=4，设动点M的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线l：y=kx+t交曲线C于A、B两点，交直线l1：y=k1x于点D，若k•k1=-4，证明：D为AB的中点．
F
1
（
0
，
3
）
F
2
（
0
，-
3
）
|
M
F
1
|
+
|
M
F
2
|
=
4
【考点】直线与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．
【答案】（1）．
（Ⅱ）证明：依题意，联立方程组
，
消去y得：（4+k2）x2+2ktx+t2-4=0，
∴，
即AB的中点坐标为，
解方程组
，
得直线l与l1的交点D的坐标为，
由k•k1=-4得，代入D点坐标即为，
综上可知，D为AB的中点．
x
2
+
y
2
4
=
1
（Ⅱ）证明：依题意，联立方程组
y = kx + t |
x 2 + y 2 4 = 1 |
消去y得：（4+k2）x2+2ktx+t2-4=0，
∴
x
1
+
x
2
2
=
-
kt
4
+
k
2
，
y
1
+
y
2
2
=
k
•
x
1
+
x
2
2
+
t
=
4
t
4
+
k
2
即AB的中点坐标为
（
-
kt
4
+
k
2
，
4
t
4
+
k
2
）
解方程组
y = kx + t |
y = k 1 x |
得直线l与l1的交点D的坐标为
（
t
k
1
-
k
，
k
1
t
k
1
-
k
）
由k•k1=-4得
k
1
=
-
4
k
（
-
kt
4
+
k
2
，
4
t
4
+
k
2
）
综上可知，D为AB的中点．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：3引用：2难度：0.5
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（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O为坐标原点．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P1，P2两点，且，OP1•OP2=-274，求双曲线E的方程；2PP1+PP2=0
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