已知直线（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（7分）
（Ⅱ）已知圆O：x2+y2=1，直线l：mx+ny=1．试证明当点P（m,n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．（8分）
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）证明：因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以，从而圆心O到直线l：mx+ny=1的距离，所以直线l与圆O恒相交；
又直线l被圆O截得的弦长为=，
由于0≤m2≤25，所以，则，
即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是．
x
2
25
+
y
2
16
=
1
（Ⅱ）证明：因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以
1
=
m
2
25
+
n
2
16
＜
m
2
+
n
2
d
=
1
m
2
+
n
2
＜
1
=
r
又直线l被圆O截得的弦长为
L
=
2
r
2
-
d
2
=
2
1
-
1
m
2
+
n
2
2
1
-
1
9
25
m
2
+
16
由于0≤m2≤25，所以
16
≤
9
25
m
2
+
16
≤
25
L
∈
[
15
2
，
4
6
5
]
即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是
L
∈
[
15
2
，
4
6
5
]
【解答】
【点评】
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发布：2024/8/14 3:0:1组卷：8引用：3难度：0.3
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（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O为坐标原点．E：x2a2-y2b2=1
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