已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），其离心率e=32，且过点（3，12）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=k（x-1）与椭圆C交于R，S两点．问是否在x轴上存在一点T，使当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？若存在请求出点T，若不存在请说明理由！
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
e
=
3
2
（
3
，
1
2
）
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】（1）椭圆的标准方程为：；
（2）存在，理由：
假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2），
联立
，整理得：（1+4k2）x2-8k2x+4k2-4=0，
其中Δ=（8k2）2-4（1+4k2）（4k2-4）=3k2+1＞0恒成立，
由韦达定理可知：x1+x2=，x1•x2=，
由∠OTS=∠OTR（由题意TS，TR的斜率存在），
故kTS+kTR=0，即+=0，
由R，S两点在直线y=k（x-1）上，故 y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
代入②得==0，
即有2x1x2-（t+1）（x1+x2）+2t=0
∴=，
要使得与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，
综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．
x
2
4
+
y
2
=
1
（2）存在，理由：
假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2），
联立
y = k （ x - 1 ） |
x 2 4 + y 2 = 1 |
其中Δ=（8k2）2-4（1+4k2）（4k2-4）=3k2+1＞0恒成立，
由韦达定理可知：x1+x2=
8
k
2
1
+
4
k
2
4
k
2
-
4
1
+
4
k
2
由∠OTS=∠OTR（由题意TS，TR的斜率存在），
故kTS+kTR=0，即
y
1
x
1
-
t
y
2
x
2
-
t
由R，S两点在直线y=k（x-1）上，故 y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
代入②得
k
（
x
1
-
1
）
（
x
2
-
t
）
+
k
（
x
2
-
1
）
（
x
1
-
t
）
（
x
1
-
t
）
（
x
2
-
t
）
k
[
2
x
1
x
2
-
（
t
+
1
）
（
x
1
+
x
2
）
+
2
t
]
（
x
1
-
t
）
（
x
2
-
t
）
即有2x1x2-（t+1）（x1+x2）+2t=0
∴
8
k
2
-
8
-
8
k
2
（
t
+
1
）
+
2
t
（
1
+
4
k
2
）
1
+
4
k
2
2
t
-
8
1
+
4
k
2
要使得与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，
综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．
【解答】
【点评】
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