综合与实践
问题情境：已知在等边△ABC中，P是边AC上的一个定点，M是BC上的一个动点，以PM为边在PM的右侧作等边△PMN，连接CN．
猜想证明：
（1）如图1，当点M在BC边上时，过点P作PH∥AB交BC于点H，试猜想CP，CN，CM之间的数量关系，并说明理由．
问题解决：
（2）如图2，当点M在CB的延长线上时，已知CP=8，CM=17，请直接写出CN的长．
（3）如图3，当点M在BC的延长线上时，（1）中的猜想是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的猜想并在图中作出证明所需要的辅助线（无需尺规作图，但需标出字母并用语言描述）．
【考点】三角形综合题．
【答案】（1）CM=CP+CN，见解析；
（2）9；
（3）不成立，正确的猜想为：CM=CN-CP，见解析．
（2）9；
（3）不成立，正确的猜想为：CM=CN-CP，见解析．
【解答】
【点评】
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发布：2024/8/5 8:0:8组卷：70引用：3难度：0.5
相似题
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1．如图（1），已知CA=CB，CD=CE，且∠ACB=∠DCE，将△DCE绕C点旋转（A、C、D三点在同一直线上除外）．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）在△DCE绕C点旋转的过程中，若ED、AB所在的直线交于点F，当点F为边AB的中点时，如图2所示．求证：∠ADF=∠BEF（提示：利用类倍长中线方法添加辅助线）；
（3）在（2）的条件下，求证：AD⊥CD．
发布：2025/6/5 4:0:1组卷：1141引用：12难度：0.3 -
2．如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转，我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”．
（1）如图1，∠DPC=度；
（2）如图2，三角板BPD不动，三角板PAC从PN处开始绕点P逆时针旋转（0°＜旋转角＜180°），若PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF的度数；
（3）在（2）的条件下，若三角板PAC的旋转速度每秒10°，设旋转时间为t秒，问t为何值时，问这两个三角形是“孪生三角形”．发布：2025/6/5 9:0:1组卷：66引用：1难度：0.2 -
3．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC=60°．
（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，求证：△AEC≌△CDB；
（2）如图2，点F、G在直线l上，连接AF，在l上方作∠AFH=120°，且AF=HF，∠HGF=120°，求证：HG+BD=CF；
（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为．
发布：2025/6/5 5:0:1组卷：2123引用：6难度：0.1
