综合与实践
问题情境：已知在等边△ABC中，P是边AC上的一个定点，M是BC上的一个动点，以PM为边在PM的右侧作等边△PMN，连接CN．
猜想证明：
（1）如图1，当点M在BC边上时，过点P作PH∥AB交BC于点H，试猜想CP，CN，CM之间的数量关系，并说明理由．
问题解决：
（2）如图2，当点M在CB的延长线上时，已知CP=8，CM=17，请直接写出CN的长．
（3）如图3，当点M在BC的延长线上时，（1）中的猜想是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的猜想并在图中作出证明所需要的辅助线（无需尺规作图，但需标出字母并用语言描述）．
【考点】三角形综合题．
【答案】（1）CM=CP+CN，见解析；
（2）9；
（3）不成立，正确的猜想为：CM=CN-CP，见解析．
（2）9；
（3）不成立，正确的猜想为：CM=CN-CP，见解析．
【解答】
【点评】
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发布：2024/8/5 8:0:8组卷：70引用：3难度：0.5
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1．已知：如图1，线段AB=14cm,△PAB的顶点P从点A出发沿折线A-O-B运动时，△PAB的面积随着点P运动路程的变化，发生了变化．图2表示这种变化规律．
（1）在P点运动5cm时，△PAB的面积为 cm2；当P点运动路程为 cm时，△PAB的面积最大为 cm2；
（2）求图1中线段AO、OB的长，以及O到AB的距离；
（3）直接写出a的值为 ．发布：2025/6/5 11:30:2组卷：22引用：2难度：0.3 -
2．如图，点C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤线段AD绕着点C顺时针旋转60度可与线段BE重合；⑥△CPQ为等边三角形；正确的有 ．（填序号）发布：2025/6/5 11:30:2组卷：306引用：1难度：0.3 -
3．已知MN∥PQ，点D是直线PQ上一定点．
（1）如图1，现有一块含30°角的直角三角板（∠CAB=30°，∠ACB=60°，∠ABC=90°），将其点A固定在直线MN上，并按图1位置摆放，使∠MAC=30°，点B恰好落在射线DE上，此时，∠PDE=20°，求∠ABD的度数；
（2）现将射线DE从图1的位置开始以每秒2度的速度绕点D顺时针旋转，转到与DQ重合时停止，三角板按图1摆放不动，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当DE与三角板的一边平行时，求t的值；
（3）若将射线DE从图1的位置开始以每秒2度的速度绕点D顺时针旋转，同时，将三角板ABC也从图1的位置开始以每秒4度的速度绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，∠MAC的角平分线AH与∠PDE的角平分线DF交于点O．
①如图2，当DF∥BC时，∠AOD=度；
②如图3，当DF∥AB时，∠AOD=度．
发布：2025/6/5 11:30:2组卷：237引用：2难度：0.3
