已知直线l：y=x+2与双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）设双曲线C的右顶点为A，右焦点为F，|BF|•|DF|=17，试判断△ABD是否为直角三角形，并说明理由．
x
2
a
2
y
2
b
2
【考点】直线与圆锥曲线的综合；双曲线的几何特征．
【答案】（Ⅰ）2；
（Ⅱ）是；
由①、②知，C的方程为：3x2-y2=3a2，
A（a，0），F（2a，0），x1+x2=2，x1•x2=-，
故不妨设x1≤-a，x2≥a，
==a-2x1，
=2x2-a，
|BF|•|FD|=（a-2x1）（2x2-a）=-4x1x2+2a（x1+x2）-a2=5a2+4a+8，
又|BF|•|FD|=17，
故5a2+4a+8=17，解得a=1或a=（舍去），
故|BD|===6，
连结MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，
从而MA=MB=MD，
且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切．
所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．∴△ABD为直角三角形．
（Ⅱ）是；
由①、②知，C的方程为：3x2-y2=3a2，
A（a，0），F（2a，0），x1+x2=2，x1•x2=-
4
+
3
a
2
2
＜
0
故不妨设x1≤-a，x2≥a，
|
BF
|
=
（
x
1
-
2
a
）
2
+
y
2
1
（
x
1
-
2
a
）
2
+
3
x
2
1
-
3
a
2
|
FD
|
=
（
x
2
-
2
a
）
2
+
y
2
2
=
（
x
2
-
2
a
）
2
+
3
x
2
2
-
3
a
2
|BF|•|FD|=（a-2x1）（2x2-a）=-4x1x2+2a（x1+x2）-a2=5a2+4a+8，
又|BF|•|FD|=17，
故5a2+4a+8=17，解得a=1或a=
-
9
5
故|BD|=
2
（
x
1
+
x
2
）
2
-
4
x
1
x
2
2
4
+
4
×
7
2
连结MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，
从而MA=MB=MD，
且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切．
所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．∴△ABD为直角三角形．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：119引用：4难度：0.1
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