已知f（x）=alnx（a＞0）．
（1）求证：当a=1时，f（x）≤x-1；
（2）若对于∀x∈（0，+∞），f（x）≤x恒成立．
①求a的最大值；
②当a取最大值时，若函数
H
（
x
）
=
e
+
1
2
x
2
-
2
xf
（
x
）
，求证：对于∀x₁，x₂∈（0，+∞），（x₁≠x₂），恒有
H
（
x
1
）
-
H
（
x
2
）
x
1
-
x
2
＞
-
e
（e为自然对数的底）．

【答案】（1）证明见解析
（2）①e；②证明见解析

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/12 8:0:8组卷：149引用：3难度：0.1

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1．已知函数
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若关于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
发布：2025/1/5 18:30:5组卷：296引用：2难度：0.4
解析
2．已知函数f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有三个极值点x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范围；
②求证：x₁+x₂+x₃＞-2．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：187引用：2难度：0.1
解析
3．已知函数f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的图象在x=-1处的切线斜率为-1，且x=-2时，y=f（x）有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．
发布：2024/12/29 12:30:1组卷：47引用：4难度：0.5
解析

1．已知函数f（x）=ln2+x2-x+1，若关于x的不等式f（kex）+f（-12x）＞2对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（ ）