已知椭圆的焦点坐标为F1（-2，0），F2（2，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=22，
（1）求椭圆的方程；
（2）M为椭圆的上顶点，过点M作直线MA、MB交椭圆于A、B两点，直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=8，求证：AB过定点，并求出定点坐标．
|
PQ
|
=
2
2
【考点】直线与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．
【答案】（1）；
（2）证明：若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，且m≠±2，设A（x1，y1），B（x2，y2），
，整理得：（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，
x1+x2=-，x1x2=，
由已知可知：+=8，
则+=8，
即2k+（m-2）=8，
∴k-=4，整理得m=k-2．
故直线AV的方程为y=kx+k-2，即y=k（x+）-2．
所以直线AB过定点（-，-2）．
若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，
设A（x0，y0），B（x0，-y0），
由已知，
得．此时AB方程为，显然过点（-，-2）．
综上，直线AB过定点（-，-2）．
x
2
8
+
y
2
4
=
1
（2）证明：若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，且m≠±2，设A（x1，y1），B（x2，y2），
y = kx + m |
x 2 8 + y 2 4 = 1 |
x1+x2=-
4
k
2
2
k
2
+
1
2
m
2
-
8
2
k
2
+
1
由已知可知：
y
1
-
2
x
1
y
2
-
2
x
2
则
k
x
1
+
m
-
2
x
1
k
x
2
+
m
-
2
x
2
即2k+（m-2）
x
1
+
x
2
x
1
x
2
∴k-
mk
m
+
2
1
2
故直线AV的方程为y=kx+
1
2
1
2
所以直线AB过定点（-
1
2
若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，
设A（x0，y0），B（x0，-y0），
由已知
y
0
-
2
x
0
+
-
y
0
-
2
x
0
=
8
得
x
0
=
-
1
2
x
=
-
1
2
1
2
综上，直线AB过定点（-
1
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：61引用：1难度：0.3
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