已知椭圆C：C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，左顶点A（-2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：x=my+t（t≠-a）与椭圆C交于不同两点B，C，且满足AB⊥AC．求证：直线l过定点，并求出定点M的坐标；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过A作AD⊥l,垂足为D，求D的轨迹方程．
x
2
a
2
y
2
b
2
1
2
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a=2，A（-2，0），设B（x1，y1），C（x2，y2），
把x=my+t（t≠-a），代入得：（3m2+4）y2+6mty+3（t2-4）=0，
Δ=36m2t2-12（3m2+4）×（t2-4）=48（3m3+4-t2）＞0，
∴y1+y2=-，y1•y2=
若AB⊥AC，
•=0，
则（x1+2）（x2+2）+y1•y2=（my1+t+2）（my2+t+2）+y1•y2，
=（m2+1）y1•y2+m（t+2）（y1+y2）+（t+2）2，
=（m2+1）•+m（t+2）（-）+（t+2）2，
==0
∵Q≠-2，
t=-，
∴直线l：x=my+，即直线l恒过定点M（-，0）．
（Ⅲ）（x+）2+y2=（x≠-2）．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a=2，A（-2，0），设B（x1，y1），C（x2，y2），
把x=my+t（t≠-a），代入
x
2
4
+
y
2
3
=
1
Δ=36m2t2-12（3m2+4）×（t2-4）=48（3m3+4-t2）＞0，
∴y1+y2=-
6
mt
3
m
2
+
4
3
（
t
2
-
4
）
3
m
2
+
4
若AB⊥AC，
AB
AC
则（x1+2）（x2+2）+y1•y2=（my1+t+2）（my2+t+2）+y1•y2，
=（m2+1）y1•y2+m（t+2）（y1+y2）+（t+2）2，
=（m2+1）•
3
（
t
2
-
4
）
3
m
2
+
4
6
mt
3
m
2
+
4
=
（
t
+
2
）
（
7
t
+
2
）
3
m
2
+
4
∵Q≠-2，
t=-
2
7
∴直线l：x=my+
2
7
2
7
（Ⅲ）（x+
8
7
36
49
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：62引用：2难度：0.3
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