刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆，径二寸，高二寸，又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．”牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一（如图一）．记正方形OABC的边长为r,设OP=h,过P点作平面PQRS平行于平面OABC．OS=OQ=r,由勾股定理有PS=PQ=r2-h2，故此正方形PQRS面积是r2-h2．如果将图一的几何体放在棱长为r的正方体内（如图二），不难证明图二中与图一等高处阴影部分的面积等于h2．（如图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为h,不难发现对于任何高度h,此截面面积必为h2，根据祖暅原理计算牟合方盖体积（ ）
注：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”、意思是两个同高的立体图形，如在等高处的截面积相等，则体积相等．
PS
=
PQ
=
r
2
-
h
2
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【答案】C
【解答】
【点评】
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发布：2024/5/27 14:0:0组卷：163引用：4难度：0.5
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