已知△ABC的三个顶点都在椭圆Γ：
x
2
4
+
y
2
3
=1上．
（1）设它的三条边AB，BC，AC的中点分别为D，E，M，且三条边所在线的斜率分别为k₁，k₂，k₃，且k₁，k₂，k₃均不为0．点O为坐标原点，若直线OD，OE，OM的斜率之和为1．求证：
1
k
1
+
1
k
2
+
1
k
3
为定值；
（2）当O是△ABC的重心时，求证：△ABC的面积是定值；
（3）如图，设△ABC的边AB所在直线与x轴垂直，垂足为椭圆右焦点F，过点F分别作直线l₁、l₂与椭圆交于C、D、E、G（不同于A、B两点），连结CG、DE与AB分别交于M、N，求证：|FM|=|FN|．

【答案】（1）证明详情见解答．
（2）证明详情见解答．
（3）证明详情见解答．

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：57引用：1难度：0.6

相似题

1．已知两个定点坐标分别是F₁（-3，0），F₂（3，0），曲线C上一点任意一点到两定点的距离之差的绝对值等于2
5
．
（1）求曲线C的方程；
（2）过F₁（-3，0）引一条倾斜角为45°的直线与曲线C相交于A、B两点，求△ABF₂的面积．
发布：2024/12/29 10:30:1组卷：96引用：1难度：0.9
解析
2．点P在以F₁，F₂为焦点的双曲线
E
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（a＞0，b＞0）上，已知PF₁⊥PF₂，|PF₁|=2|PF₂|，O为坐标原点．
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P₁，P₂两点，且
O
P
1
•
O
P
2
=
-
27
4
，
2
P
P
1
+
P
P
2
=
0
，求双曲线E的方程；
（Ⅲ）若过点Q（m,0）（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且
MQ
=
λ
QN
（λ为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使
F
1
F
2
⊥
（
GM
-
λ
GN
）
？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2024/12/29 10:0:1组卷：72引用：5难度：0.7
解析
3．若过点（0，-1）的直线l与抛物线y²=2x有且只有一个交点，则这样的直线有（　　）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
发布：2024/12/29 10:30:1组卷：26引用：5难度：0.7
解析

1．已知两个定点坐标分别是F1（-3，0），F2（3，0），曲线C上一点任意一点到两定点的距离之差的绝对值等于25．（1）求曲线C的方程；（2）过F1（-3，0）引一条倾斜角为45°的直线与曲线C相交于A、B两点，求△ABF2的面积．