已知椭圆C：x2a2+y2=1（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：（x-3）2+（y-1）2=3相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若不过A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且AP•AQ=0，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．
x
2
a
2
AP
AQ
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【答案】（I）．
（Ⅱ）由知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，
故可设直线AP的方程为y=kx+1，
直线AQ的方程为．
联立
，整理得（1+3k2）x2+6kx=0，
解得x=0或，故点P的坐标为，
同理，点Q的坐标为，
∴直线l的斜率为，
∴直线l的方程为，
即．
所以直线l过定点．
x
2
3
+
y
2
=
1
（Ⅱ）由
AP
•
AQ
=
0
故可设直线AP的方程为y=kx+1，
直线AQ的方程为
y
=
-
1
k
x
+
1
联立
y = kx + 1 |
x 2 3 + y 2 = 1 |
解得x=0或
x
=
-
6
k
1
+
3
k
2
（
-
6
k
1
+
3
k
2
，
1
-
3
k
2
1
+
3
k
2
）
同理，点Q的坐标为
（
6
k
k
2
+
3
，
k
2
-
3
k
2
+
3
）
∴直线l的斜率为
k
2
-
3
k
2
+
3
-
1
-
3
k
2
1
+
3
k
2
6
k
k
2
+
3
-
-
6
k
1
+
3
k
2
=
k
2
-
1
4
k
∴直线l的方程为
y
=
k
2
-
1
4
k
（
x
-
6
k
k
2
+
3
）
+
k
2
-
3
k
2
+
3
即
y
=
k
2
-
1
4
k
x
-
1
2
所以直线l过定点
（
0
，-
1
2
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：227引用：9难度：0.1
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（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O为坐标原点．E：x2a2-y2b2=1
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