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伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布•伯努利用来描述他所发现的曲线.2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）基于“大力神杯”的原型设计完成，正视图近似伯努利双纽线．在平面直角坐标系xOy中，把到定点F₁（-a,0）、F₂（a,0）距离之积等于a²（a＞0）的点的轨迹称为双纽线C．已知点P（x₀，y₀）是双纽线C上一点，下列说法正确的有（　　）

A．双纽线C既关于x轴对称，也关于y轴对称

B．△F₁PF₂面积的最大值为

C．双纽线C上满足|PF₁|=|PF₂|的点P有两个

D．|PO|的最大值为

【考点】双曲线的对称性．

【答案】A；B；D

【解答】

【点评】

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发布：2024/7/9 8:0:8组卷：114引用：3难度：0.5

相似题

1．椭圆与双曲线之间有许多优美的对称性质，已知椭圆C₁：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）和双曲线C₂：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1（a＞0，b＞0）．
（1）设AB是双曲线C₂：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为弦AB的中点，O为坐标原点，则k_OM•k_AB=
b
2
a
2
为定值．类比双曲线的性质：若AB是椭圆C₁：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，试猜想k_OM•k_AB的值，并证明；
（2）设椭圆C₁：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）交x轴于A，B两点，点P是椭圆C₁上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交y轴于点M，N，则
AN
•
BM
为定值b²-a²，类比椭圆的性质：若双曲线C₂：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1（a＞0，b＞0）交x轴于A，B两点，点P是双曲线C₂上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交y轴于点M，N，试猜想
AN
•
BM
的值，并证明．
发布：2024/6/27 10:35:59组卷：86引用：2难度：0.5
解析
2．2022年卡塔尔世界杯中的数字元素——会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线．定义：在平面直角坐标系xOy中，把到定点F₁（-a,0）F₂（a,0）的距离之积等于a²（a＞0）的点的轨迹称为双纽线C．已知P（x₀，y₀）是双纽线C上的一点，下列说法错误的是（　　）
A．双纽线C关于原点O成中心对称
B．
-
a
2
≤
y
0
≤
a
2
C．双曲线C上满足|PF₁|=|PF₂|的点P有两个
D．|OP|的最大值为
2
a
发布：2024/12/5 1:30:2组卷：114引用：2难度：0.6
解析

3．形如
f
（
x
）
=
ax
+
b
x
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模型，因其形状像极了老师给我们批阅作业所用的“√”，所以也称为“对勾函数”．研究证明，对勾函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数是双曲线．已知O为坐标原点，下列关于函数
f
（
x
）
=
x
+
1
x
的说法正确的是（　　）

A．渐近线方程为x=0和y=x

B．y=f（x）的对称轴方程为

（

）

和

（

）

C．M，N是函数f（x）图象上两动点，P为MN的中点，则直线MN，OP的斜率之积为定值

D．Q是函数f（x）图象上任意一点，过点Q作切线，交渐近线于A，B两点，则△OAB的面积为定值

发布：2024/6/22 8:0:10组卷：184引用：7难度：0.5

解析