已知函数
f
（
x
）
=
aln
（
x
+
1
）
+
1
2
x
2
-
x
（a为非零常数）
（1）若f（x）在x=1处的切线经过点（2，ln2），求实数a的值；
（2）y=f（x）有两个极值点x₁，x₂．
①求实数a的取值范围；
②若x₁＜x₂，证明：2f（x₂）-x₁＞0．

【答案】（1）a=1．
（2）①a的范围是（0，1）．
②证明见解答．

【解答】

【点评】

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发布：2024/8/12 14:0:1组卷：157引用：2难度：0.3

相似题

1．已知函数f（x）=（x-a）lnx（a∈R），它的导函数为f'（x）．
（1）当a=1时，求f'（x）的零点；
（2）若函数f（x）存在极小值点，求a的取值范围．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：279引用：8难度：0.4
解析
2．若函数
f
（
x
）
=
e
2
x
4
-
ax
e
x
有两个极值点，则实数a的取值范围为（　　）
A．
（
-
∞
，-
1
2
）
B．
（
-
1
2
，
0
）
C．
（
1
2
，
+
∞
）
D．
（
0
，
1
2
）
发布：2024/12/29 13:30:1组卷：125引用：4难度：0.5
解析
3．定义：设f'（x）是f（x）的导函数，f″（x）是函数f'（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数
f
（
x
）
=
a
x
3
+
b
x
2
+
5
3
（
ab
≠
0
）
的对称中心为（1，1），则下列说法中正确的有（　　）
A．
a
=
1
3
，b=-1
B．函数f（x）既有极大值又有极小值
C．函数f（x）有三个零点
D．过
（
-
1
，
1
3
）
可以作两条直线与y=f（x）图像相切
发布：2024/12/29 13:30:1组卷：184引用：7难度：0.5
解析

已知函数f（x）=aln（x+1）+12x2-x（a为非零常数）（1）若f（x）在x=1处的切线经过点（2，ln2），求实数a的值；（2）y=f（x）有两个极值点x1，x2．①求实数a的取值范围；②若x1＜x2，证明：2f（x2）-x1＞0．