十八世纪伟大的数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v），面数（f），棱数（e）之间存在一个有趣的数量关系：v+f-e=2，这就是著名的欧拉定理．而正多面体，是指多面体的各个面都是形状大小完全相同的正多边形，虽然多面体的家族很庞大，可是正多面体的成员却仅有五种，它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，那今天就让我们来了解下这几个立体图形中的“天之骄子”：

（1）如图1，正四面体共有
4
4
个顶点，
6
6
条棱．
（2）如图2，正六面体共有
8
8
个顶点，
12
12
条棱．
（3）如图3是某个方向看到的正八面体的部分形状（虚线被隐藏），正八面体每个面都是正三角形，每个顶点处有四条棱，那么它共有
6
6
个顶点，
12
12
条棱．
（4）当我们没有正12面体的图形时，我们可以根据计算了解它的形状：
我们设正12面体每个面都是正n（n≥3）边形，每个顶点处有m（m≥3）条棱，则共有12n÷2=6n条棱，有12n÷m=
12
n
m
个顶点．
欧拉定理得到方程：
12
n
m
+12-6n=2，且m,n均为正整数，
去掉分母后：12n+12m-6nm=2m,
将n看作常数移项：12m-6nm-2m=-12n,
合并同类项：（10-6n）m=-12n,
化系数为1：m=
-
12
n
10
-
6
n
=
12
n
6
n
-
10
，
变形：
m
=
12
n
6
n
-
10

=
12
n
-
20
+
20
6
n
-
10

=
12
n
-
20
6
n
-
10
+
20
6
n
-
10

=
2
（
6
n
-
10
）
6
n
-
10
+
20
6
n
-
10

=
2
+
20
6
n
-
10
．
分析：m（m≥3），n（n≥3）均为正整数，所以
20
6
n
-
10
是正整数，所以n=5，m=3，即6n=30，
12
n
m
=
20
．
因此正12面体每个面都是正五边形，共有30条棱，20个顶点．
请依据上面的方法或者根据自己的思考得出：正20面体共有
30
30
条棱；
12
12
个顶点．

【答案】4；6；8；12；6；12；30；12

【解答】

【点评】

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发布：2024/7/20 8:0:8组卷：262引用：3难度：0.5

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（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：

多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）

四面体

长方体

正八面体

正十二面体

你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是
．
（2）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是
．
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．

发布：2024/9/15 8:0:8组卷：529引用：4难度：0.5