我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”．
（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 ④④（请填序号）；
（2）在“完美”四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，连接AC．
①如图1，求证：AC平分∠BCD；
小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分∠BCD：
想法一：通过∠B+∠D=180°，可延长CB到E，使BE=CD，通过证明△AEB≌△ACD，从而可证AC平分∠BCD；
想法二：通过AB=AD，可将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△AEB，可证C，B，E三点在一条直线上，从而可证AC平分∠BCD．
请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分∠BCD；
②如图2，当∠BAD=90°，用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明．
【考点】四边形综合题．
【答案】④
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/30 8:0:9组卷：1382引用：4难度：0.3
相似题
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1．[问题提出]
正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径R和中心角有什么关系？
[问题探究]
如图①，△ABC是等边三角形，半径OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC内任意一点，P到△ABC各边距离PF、PE、PD分别为h1、h2、h3，设△ABC的边长是a,面积为S．过点O作OM⊥AB．
∴OM=Rcos∠AOB=Rcos60°，AM=Rsin12∠AOB=Rsin60°，AB=2AM=2Rsin60°12
∴S△ABC=3S△AOB=3×AB×OM=3R2sin60°cos60°①12
∵S△ABC又可以表示为a（h1+h2+h3）②12
联立①②得a（h1+h2+h3）=3R2sin60°cos60°12
∴×2Rsin60°（h1+h2+h3）=3R2sin60°cos60°12
∴h1+h2+h3=3Rcos60°
[问题解决]
如图②，五边形ABCDE是正五边形，半径OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC内任意一点，P到△ABC各边距PH、PM、PN、PI、PL分别为h1、h2、h3、h4、h5，参照（1）的分析过程，探究h1+h2+h3+h4+h5的值与正五边形ABCDE的半径R及中心角的关系．
[性质应用]
（1）正六边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+h3+h4+h5+h6=．
（2）如图③，正n边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+hn-1+hn=．发布：2025/5/24 8:0:1组卷：149引用：1难度：0.2 -
2．在五边形ABCDE中，四边形ABCD是矩形，△ADE是以E为直角顶点的等腰直角三角形．CE与AD交于点G，将直线EC绕点E顺时针旋转45°交AD于点F．
（1）求证：∠AEF=∠DCE；
（2）判断线段AB，AF，FC之间的数量关系，并说明理由；
（3）若FG=CG，且AB=2，求线段BC的长．发布：2025/5/24 8:0:1组卷：328引用：2难度：0.2 -
3．综合与探究
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且AE⊥BF，请写出线段AE与BF的数量关系，并证明你的结论．
（2）【类比探究】
如图2，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E，F分别在边BC，CD上，且AE⊥BF，请写出线段AE与BF的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展延伸】
如图3，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为BC中点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点F，交AC于点E，若AB=3，BC=4，求BE的长．
发布：2025/5/24 9:0:1组卷：760引用：4难度：0.1
