已知椭圆C的方程为：x2a2+y22=1（a＞0），其焦点在x轴上，离心率e=22．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P（x0，y0）满足OP=OM+2ON，其中O为坐标原点，M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为-12，求证：x20+2y20为定值．
（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．
x
2
a
2
y
2
2
2
2
OP
OM
ON
1
2
x
2
0
y
2
0
【答案】（1）；
（2）；
（3）存在，证明：由（2）知点P是椭圆上的点，
∵，
∴该椭圆的左右焦点满足为定值，
因此存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值．
x
2
4
+
y
2
2
=
1
（2）
x
0
2
+
2
y
2
0
=
20
（3）存在，证明：由（2）知点P是椭圆
x
2
20
+
y
2
10
=
1
∵
c
=
20
-
10
=
10
∴该椭圆的左右焦点
A
（
-
10
，
0
）
、
B
（
10
，
0
）
|
PA
|
+
|
PB
|
=
4
5
因此存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：75引用：8难度：0.3
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