如图所示，在一块面积为
5000
3
π
m
2
的圆心角为
π
3
的扇形POQ空地中（如图1：扇形POQ，
∠
QOP
=
π
3
），要建设一座长方体的高楼（如图2：长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁）．由于建设需求，点C需在弧PQ上（如图3）．为了消防安全，楼层建设不能太高，OC₁与地面OPQ所成的角最大为
π
4
．

（1）求楼高CC₁的最大值；
（2）求这座高楼体积的最大值．

【答案】（1）楼高CC₁的最大值为100m；
（2）这座高楼体积的最大值为

500000

m³．

【解答】

【点评】

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发布：2024/7/5 8:0:9组卷：26引用：2难度：0.6

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1．如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，AB=2，BC=1，设AE与平面ABC所成的角为θ，且tanθ=
3
2
，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC．
（1）求三棱锥C-ABE的体积；
（2）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（3）在CD上是否存在一点M，使得MO∥平面ADE？证明你的结论．
发布：2025/1/20 8:0:1组卷：95引用：3难度：0.1
解析
2．如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD的边BC垂直于圆O所在的平面，且AB=2，AD=EF=1．
（Ⅰ）设CD的中点为M，求证：EM∥平面DAF；
（Ⅱ）求三棱锥B-CME的体积．
发布：2025/1/20 8:0:1组卷：16引用：1难度：0.5
解析
3．如图所示，AB为圆O的直径，PC⊥平面ABC，Q在线段PA上．
（1）求证：平面BCQ⊥平面ACQ；
（2）若Q为靠近P的一个三等分点，PC=BC=1，
AC
=
2
2
，求V_P-BCQ的值．
发布：2025/1/20 8:0:1组卷：38引用：3难度：0.6
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2．如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD的边BC垂直于圆O所在的平面，且AB=2，AD=EF=1．（Ⅰ）设CD的中点为M，求证：EM∥平面DAF；（Ⅱ）求三棱锥B-CME的体积．