如图1，抛物线C1：y=-x2+bx+c与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，交y轴于点C，连接AC，点D为AC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段DE的最大值，并求出此时点D的坐标；
（3）如图2，将抛物线C1沿y轴翻折得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为F，对称轴与x轴交于点G，过点H（1，2）的直线（直线FH除外）与抛物线交于J，I两点，直线FJ，FI分别交x轴于点M，N．试探究GM•GN是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
C
1
：
y
=
-
x
2
+
bx
+
c
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2-2x+3；
（2）线段DE的最大值为，此时点D的坐标为（-，）；
（3）是定值为8，理由见解答．
（2）线段DE的最大值为
9
2
8
3
2
15
4
（3）是定值为8，理由见解答．
【解答】
【点评】
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发布：2024/10/12 7:0:1组卷：758引用：7难度：0.3
相似题
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1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=
x2+bx+c,与y轴交于点B，与x轴交于A、C两点（点A在点C的左侧），其中A（-1，0），C（6，0）．12
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，连接BC，过A作BC平行线AD交抛物线于点D．点P为直线BC下方抛物线上一动点，连接AP，DP分别交BC于E，F．记△EFP的面积为S1，△DEF的面积为S2，求的最大值及此时点P的坐标；S1S2
（3）将抛物线沿着射线BC方向平移个单位得到新的抛物线y'．P为（2）问所求点，M是原抛物线上的动点，N是新抛物线对称轴上的动点，写出所有使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点N的坐标，并把其中一个点N的过程写出来．354
发布：2025/6/20 8:30:2组卷：166引用：1难度：0.3 -
2．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A（-1，0）和点B，交y轴于点C，
．tan∠ACO=13
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P点为第四象限内抛物线上的一个动点，D点是BC中点，连接PD，BD，PB．求△BDP面积的最大值以及此时P点坐标；
（3）如图2，将抛物线向左平移1个单位长度，得到新的抛物线y1，M为新抛物线对称轴上一点，N为直线AC上一动点，在（2）的条件下，是否存在点M，使得以点P、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2025/6/20 5:0:1组卷：155引用：2难度：0.3 -
3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4），对称轴为直线x=
．52
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BC，若点M是线段BC上一动点（不与B，C重合），过点M作MN∥y轴，交抛物线于点N，连接ON，当MN的长度最大时，判断四边形OCMN的形状并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点N的直线与抛物线交于点E，且∠DNE=2∠ODN．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标，无需说明理由；若不存在，请说明理由．发布：2025/6/20 7:30:1组卷：242引用：2难度：0.2
