如果一个正多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体叫做正多面体．有趣的是只有正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体五种正多面体，现将它们的体积依次记为，V4，V6，V8，V12，V20．
（1）利用金属板分别制作正多面体模型各一个，假设制作每个模型的外壳用料（即表面积）均等于243cm2，分别求出V4和V8的值；并猜想V12与V20的大小关系（猜想不需证明）．
（2）多面体的欧拉定理：简单多面体的面数F、棱数E与顶点数V满足：V+F-E=2．已知正多面体都是简单多面体，设某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为m,每个面的边数为n,求m,n,E满足的关系式；并尝试据此说明正多面体仅有五种．
24
3
c
m
2
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【答案】（1）在相同表面积下，正多面体的面越多，其体积越大，所以V12＜V20，
（2）m，n，E满足的关系式为：+=+，所有的数对（m，n）有：（3，3），（3，4），（3，5），（4，3），（5，3）．
（2）m，n，E满足的关系式为：
1
m
1
n
1
2
1
E
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/10 8:0:9组卷：50引用：1难度：0.5
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