已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，点Q（b ， ab）在椭圆上，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
2
2
Q
（
b
，
a
b
）
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）；
（2）证明：当直线PN的斜率k不存在时，PN方程为：或，
从而有，
所以四边形OPMN的面积为
；
当直线PN的斜率k存在时，
设直线PN方程为：y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），N（x2，y2）；
将PN的方程代入C整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，
所以，，
，
由得：，
将M点坐标代入椭圆C方程得：m2=1+2k2；
点O到直线PN的距离为，
，
四边形OPMN的面积为
．
综上，平行四边形OPMN的面积S为定值．
x
2
8
+
y
2
4
=
1
（2）证明：当直线PN的斜率k不存在时，PN方程为：
x
=
2
x
=
-
2
从而有
|
PN
|
=
2
3
所以四边形OPMN的面积为
S
=
1
2
|
PN
|
•
|
OM
|
=
1
2
×
2
3
×
2
2
=
2
6
当直线PN的斜率k存在时，
设直线PN方程为：y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），N（x2，y2）；
将PN的方程代入C整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，
所以
x
1
+
x
2
=
-
4
km
1
+
2
k
2
x
1
•
x
2
=
2
m
2
-
8
1
+
2
k
2
y
1
+
y
2
=
k
（
x
1
+
x
2
）
+
2
m
=
2
m
1
+
2
k
2
由
OM
=
OP
+
ON
M
（
-
4
km
1
+
2
k
2
，
2
m
1
+
2
k
2
）
将M点坐标代入椭圆C方程得：m2=1+2k2；
点O到直线PN的距离为
d
=
|
m
|
1
+
k
2
|
PN
|
=
1
+
k
2
|
x
1
-
x
2
|
四边形OPMN的面积为
S
=
d
•
|
PN
|
=
|
m
|
•
|
x
1
-
x
2
|
=
1
+
2
k
2
•
|
x
1
-
x
2
|
=
16
k
2
-
8
m
2
+
32
=
2
6
综上，平行四边形OPMN的面积S为定值
2
6
【解答】
【点评】
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发布：2024/9/5 11:0:15组卷：716引用：7难度：0.1
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