设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若椭圆E的离心率为12，△ABF2的周长为16．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N．
证明：O，M，N三点共线．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
1
2
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（I）；
（Ⅱ）证明：当直线AB、CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线；
当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，且设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．
则，，相减得，
∴=，
即，即，∴；
同理可得，
∴kOM=kON，所以O，M，N三点共线．
x
2
16
+
y
2
12
=
1
（Ⅱ）证明：当直线AB、CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线；
当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，且设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．
则
x
1
2
16
+
y
1
2
12
=
1
x
2
2
16
+
y
2
2
12
=
1
x
1
2
-
x
2
2
16
=
-
y
1
2
-
y
2
2
12
∴
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
•
y
1
+
y
2
x
1
+
x
1
-
3
4
即
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
•
y
0
x
0
=
-
3
4
k
•
k
OM
=
-
3
4
k
OM
=
-
3
4
k
同理可得
k
ON
=
-
3
4
k
∴kOM=kON，所以O，M，N三点共线．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：85引用：2难度：0.4
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