已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点A（0，-1），且离心率为32．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P（2，1）的直线与椭圆E交于不同两点B、C求证：直线AB和AC的斜率之和为定值．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
3
2
【答案】（1）；
（2）证明：∵直线BC过P（2，1）且与椭圆有两个不同交点，
∴直线BC的斜率一定存在且对于0，于是设直线方程为y-1=k（x-2），即y=kx-2k+1，
联立
，得（4k2+1）x2-（16k2-8k）x+16k（k-1）=0，
Δ=（16k2-8k）2-4（4k2+1）（16k2-16k）＞0，
设B（x1，y1），C（x2，y2），
则，，
设直线AB和AC的斜率分别为k1，k2，
则==
=2k-，
∴直线AB和AC的斜率之和为定值1．
x
2
4
+
y
2
=
1
（2）证明：∵直线BC过P（2，1）且与椭圆有两个不同交点，
∴直线BC的斜率一定存在且对于0，于是设直线方程为y-1=k（x-2），即y=kx-2k+1，
联立
y = kx - 2 k + 1 |
x 2 + 4 y 2 = 4 |
Δ=（16k2-8k）2-4（4k2+1）（16k2-16k）＞0，
设B（x1，y1），C（x2，y2），
则
x
1
+
x
2
=
16
k
2
-
8
k
4
k
2
+
1
x
1
x
2
=
16
k
（
k
-
1
）
4
k
2
+
1
设直线AB和AC的斜率分别为k1，k2，
则
k
1
+
k
2
=
y
1
+
1
x
1
+
y
2
+
1
x
2
k
（
x
1
-
2
）
+
2
x
1
+
k
（
x
2
-
2
）
+
2
x
2
2
k
-
2
（
k
-
1
）
（
x
1
+
x
2
）
x
1
x
2
=2k-
16
k
（
k
-
1
）
（
2
k
-
1
）
16
k
（
k
-
1
）
=
2
k
-
（
2
k
-
1
）
=
1
∴直线AB和AC的斜率之和为定值1．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：147引用：4难度：0.4
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