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已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
的焦距为2，F1，F2分别为左右焦点，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，△F2MN的周长为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知结论：若点（x0，y0）为椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
上一点，则椭圆在该点的切线方程为
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=
1
．点T为直线x=8上的动点，过点T作椭圆C的两条不同切线，切点分别为A，B，直线AB交x轴于点Q．证明：Q为定点；

【考点】椭圆的切线方程及性质．
【答案】（1）
x
2
4
+
y
2
3
=
1
；
（2）证明见详解．
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/13 8:0:9组卷：185引用：5难度：0.5
相似题

  • 1．经研究发现，若点M（x0，y0）在椭圆
    x
    2
    a
    2
    +
    y
    2
    b
    2
    =
    1
    （
    a
    ＞
    b
    ＞
    0
    ）
    上，则过点M的椭圆切线方程为
    x
    0
    x
    a
    2
    +
    y
    0
    y
    b
    2
    =
    1
    ，现过点
    P
    （
    t
    ,
    0
    ）
    （
    |
    t
    |
    ＞
    2
    ）
    作椭圆
    C
    ：
    x
    2
    2
    +
    y
    2
    =
    1
    的切线，切点为Q，当△POQ（其中O为坐标原点）的面积为
    1
    2
    时，t=
    ．

    发布：2024/11/7 8:0:2组卷：58引用：1难度：0.5
    解析

  • 2．已知椭圆C的两个顶点分别为A（-2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为
    3
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）已知点P（x0，y0）是椭圆上一点，求以点P为切点的椭圆的切线方程；
    （Ⅲ）设点Q是直线l：x=5上一动点，过点Q作椭圆C的两条切线QM，QN，切点分别为M，N，直线MN是否过定点？如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由．

    发布：2024/11/7 8:0:2组卷：147引用：1难度：0.4
    解析

  • 3．关于椭圆的切线有下列结论：若P（x1，y1）是椭圆
    x
    2
    a
    2
    +
    y
    2
    b
    2
    =1（a＞b＞0）上的一点，则过点P的椭圆的切线方程为
    x
    1
    x
    a
    2
    +
    y
    1
    y
    b
    2
    =
    1
    ．已知椭圆C：
    x
    2
    4
    +
    y
    2
    3
    =
    1
    ，过椭圆C外一点M（x0，y0）作椭圆的两条切线MA，MB（A，B为切点）．
    （Ⅰ）利用上述结论，求直线AB的方程；
    （Ⅱ）设椭圆的右焦点为F，求证：
    |
    MF
    |
    2
    |
    FA
    |
    |
    FB
    |
    =
    x
    2
    0
    4
    +
    y
    2
    0
    3
    ．

    发布：2024/11/7 8:0:2组卷：251引用：1难度：0.3
    解析
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