设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
（Ⅰ）证明：|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与C1交于P，Q两点，求证：1|MN|+1|PQ|是定值，并求出该定值．
1
|
MN
|
+
1
|
PQ
|
【答案】（Ⅰ）证明：因为|AD|=|AC|，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，
所以|EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|．
又圆A的标准方程为（x+1）2+y2=16，
从而|AD|=4，所以|EA|+|EB|=4．
由题设得A（-1，0），B（1，0），|AB|=2，
由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：（y≠0）．
（Ⅱ）证明：依题意：l与x轴不垂直，设l的方程为y=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．
由
得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0．
则，．
所以．
同理：，
故．
所以|EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|．
又圆A的标准方程为（x+1）2+y2=16，
从而|AD|=4，所以|EA|+|EB|=4．
由题设得A（-1，0），B（1，0），|AB|=2，
由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（Ⅱ）证明：依题意：l与x轴不垂直，设l的方程为y=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．
由
y = k （ x - 1 ） |
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
则
x
1
+
x
2
=
8
k
2
4
k
2
+
3
x
1
x
2
=
4
k
2
-
12
4
k
2
+
3
所以
|
MN
|
=
1
+
k
2
|
x
1
-
x
2
|
=
12
（
k
2
+
1
）
4
k
2
+
3
同理：
|
PQ
|
=
12
（
k
2
+
1
）
3
k
2
+
4
故
1
|
MN
|
+
1
|
PQ
|
=
4
k
2
+
3
12
（
k
2
+
1
）
+
3
k
2
+
4
12
（
k
2
+
1
）
=
7
12
（
定值
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/8/30 9:0:8组卷：276引用：3难度：0.7
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