九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，斑斓夺目的数学知识中函数尤为耀眼，加上数列知识的加持，犹如锦上添花．下面让我们通过下面这题来体会函数与数列之间的联系．已知

f

（

x

）

=

lnx

+

1

x

，g（x）=f（x）-x.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若数列

a

n

=

e

n

（e为自然底数），b_n=f（a_n），S_n=b₁+b₃+b₅+…+b_2n-1，

T

n

=

n

∑

i

=

1

b

2

i

，i,n∈N^*，求使得不等式：en²+S_n＞eT_n成立的正整数n的取值范围；
（3）数列{c_n}满足0＜c₁＜1，c_n+1=f（c_n），n∈N^*．证明：对任意的n∈N^*，

g

（

c

n

+

1

-

c

n

+

2

c

n

+

2

-

c

n

+

3

）

＜

0

．