设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，椭圆C的离心率是32，△AF1F2的面积是3．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）直线l与椭圆C交于B，D、两点（异于点A），若直线AB与直线AD的斜率之和为1，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．
x
2
a
2
y
2
b
2
3
2
3
【答案】（1）标准方程为：+y2=1；
（2）证明：由（1）得，A（0，-1），当直线l的斜率不存在时，设直线为：x=m，代入椭圆中：y2=1-，
设B（m，），D（m，-），∴kAB+kAD=+=，由题意得：，所以m=2；
当直线BD的斜率存在时，设直线为：y=kx+t，设B（x，y），D（x'，y'），联立与椭圆的方程整理得：（1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0，
Δ=64k2t2-4（1+4k2）（4t2-4）＞0，t2＜1+4k2，∴t2＜1，x+x'=，xx'=，y+y'=k（x+x'）+2t=，
∴kAB+kAD==+=2k+=2k+=2k+2=，
由题意知：=1，即-2k=t-1，∴t=-2k+1，
所以直线为y=kx-2k+1=k（x-2）+1，当x=2时，y=1，即过（2，1），
综上所述，直线恒过点（2，1）．
x
2
4
（2）证明：由（1）得，A（0，-1），当直线l的斜率不存在时，设直线为：x=m，代入椭圆中：y2=1-
m
2
4
设B（m，
1
-
m
2
4
1
-
m
2
4
1
-
m
2
4
+
1
m
-
1
-
m
2
4
+
1
m
2
m
2
m
=
1
当直线BD的斜率存在时，设直线为：y=kx+t，设B（x，y），D（x'，y'），联立与椭圆的方程整理得：（1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0，
Δ=64k2t2-4（1+4k2）（4t2-4）＞0，t2＜1+4k2，∴t2＜1，x+x'=
-
8
kt
1
+
4
k
2
4
t
2
-
4
1
+
4
k
2
2
t
1
+
4
k
2
∴kAB+kAD=
y
+
1
x
+
y
′
+
1
x
′
kx
+
1
+
t
x
kx
′
+
1
+
t
x
′
（
1
+
t
）
（
x
+
x
′
）
xx
′
（
1
+
t
）
（
-
8
kt
）
4
t
2
-
4
-
kt
t
-
1
-
2
k
t
-
1
由题意知：
-
2
k
t
-
1
所以直线为y=kx-2k+1=k（x-2）+1，当x=2时，y=1，即过（2，1），
综上所述，直线恒过点（2，1）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：420引用：11难度：0.5
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