已知函数f（x）=aln（x-a）-12x2+x，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若x1，x2是函数g（x）=alnx-12x2+x的两个极值点，且x1＜x2，求证：f（x1）-f（x2）＜0．
f
（
x
）
=
aln
（
x
-
a
）
-
1
2
x
2
+
x
g
（
x
）
=
alnx
-
1
2
x
2
+
x
【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．
【答案】（1）当a=0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
当a＞0时，f（x）在（a，a+1）上单调递增，在（a+1，+∞）上单调递减；
当-1＜a＜0时，f（x）在（0，a+1）上单调递增，在（a，0）和（a+1，+∞）上单调递减；
当a=-1时，f（x）在（-1，+∞）上单调递减；
当a＜-1时，f（x）在（a+1，0）上单调递增，在（a，a+1）和（0，+∞）上单调递减；
（2）证明见解析．
当a＞0时，f（x）在（a，a+1）上单调递增，在（a+1，+∞）上单调递减；
当-1＜a＜0时，f（x）在（0，a+1）上单调递增，在（a，0）和（a+1，+∞）上单调递减；
当a=-1时，f（x）在（-1，+∞）上单调递减；
当a＜-1时，f（x）在（a+1，0）上单调递增，在（a，a+1）和（0，+∞）上单调递减；
（2）证明见解析．
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/5 8:0:9组卷：266引用：5难度：0.2
