已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点（0，3），且离心率为12．设A，B为椭圆C的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的一点，直线AP，BP分别与直线l：x=4相交于M，N两点，且直线MB与椭圆C交于另一点H．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求证：直线AP与BP的斜率之积为定值；
（Ⅲ）判断三点A，H，N是否共线，并证明你的结论．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
（
0
，
3
）
1
2
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）根据题意，直线AP，BP的斜率都存在且不为零．A（-2，0），B（2，0），
设P（x0，y0），则（-2＜x0＜2）．
则，
因为点P在椭圆上，则，所以，，
所以，
所以直线AP与BP的斜率之积为定值；
（III）共线．
三点A、H、N共线．证明如下：
设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0），则直线BP的方程为，
所以，M（4，6k），，，
设直线HM：y=3k（x-2），
联立方程组
，消去y整理得，（1+12k2）x2-48k2x+48k2-4=0．
设H（x1，y1），则，所以，．
所以，
因A（-2，0）、，，，
所kAN=kAH，所以三点A，H，N共线．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（Ⅱ）根据题意，直线AP，BP的斜率都存在且不为零．A（-2，0），B（2，0），
设P（x0，y0），则
x
0
2
4
+
y
0
2
3
=
1
则
k
AP
•
k
BP
=
y
0
x
0
+
2
•
y
0
x
0
-
2
=
y
2
0
x
2
0
-
4
因为点P在椭圆上，则
x
2
0
4
+
y
2
0
3
=
1
y
2
0
=
3
（
1
-
x
2
0
4
）
=
3
（
4
-
x
2
0
）
4
所以
k
AP
•
k
BP
=
y
2
0
x
2
0
-
4
=
3
4
（
4
-
x
2
0
）
x
2
0
-
4
=
-
3
4
所以直线AP与BP的斜率之积为定值
-
3
4
（III）共线．
三点A、H、N共线．证明如下：
设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0），则直线BP的方程为
y
=
-
3
4
k
（
x
-
2
）
所以，M（4，6k），
N
（
4
，-
3
2
k
）
k
BM
=
6
k
4
-
2
=
3
k
设直线HM：y=3k（x-2），
联立方程组
y = 3 k （ x - 2 ） |
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
设H（x1，y1），则
2
x
1
=
48
k
2
-
4
12
k
2
+
1
x
1
=
24
k
2
-
2
12
k
2
+
1
y
1
=
3
k
（
x
1
-
2
）
=
-
12
k
12
k
2
+
1
所以
H
（
24
k
2
-
2
12
k
2
+
1
，-
12
k
12
k
2
+
1
）
因A（-2，0）、
N
（
4
，-
3
2
k
）
k
AN
=
-
3
2
k
6
=
-
1
4
k
k
AH
=
-
12
k
12
k
2
+
1
24
k
2
-
2
12
k
2
+
1
+
2
=
-
1
4
k
所kAN=kAH，所以三点A，H，N共线．
【解答】
【点评】
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