已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F的坐标为(1,0),离心率e=22.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点P、Q为椭圆上位于第一象限的两个动点,满足PF⊥QF,C为PQ的中点,线段PQ的垂直平分线分别交x轴、y轴于A、B两点.
(i)求证:A为BC的中点;
(ii)若S△ABOS△BCF=35(S为三角形的面积),求直线PQ的方程.
x
2
a
2
y
2
b
2
2
2
S
△
ABO
S
△
BCF
3
5
【答案】(Ⅰ)=1.
(Ⅱ)(i)证明:设点P、Q为椭圆上位于第一象限的两个动点,满足PF⊥QF,
C为PQ的中点,线段PQ的垂直平分线分别交x轴、y轴于A、B两点.
设直线PQ的方程为y=kx+m,(k≠0),
P(x1,y1),Q(x2,y2),联立
,
整理,得:(2k2+1)x2+4kmx+2(m2-1)=0,
由韦达定理得,x1x2=,
∴C(),
线段PQ的垂直平分线AB的方程为y-=-(x+),
令y=0,得A(-,0),令x=0,得B(0,),
∵,yA=,
∴A为BC的中点.
(ii)y=-x+.
x
2
2
+
y
2
(Ⅱ)(i)证明:设点P、Q为椭圆上位于第一象限的两个动点,满足PF⊥QF,
C为PQ的中点,线段PQ的垂直平分线分别交x轴、y轴于A、B两点.
设直线PQ的方程为y=kx+m,(k≠0),
P(x1,y1),Q(x2,y2),联立
x 2 2 + y 2 = 1 |
y = kx + m |
整理,得:(2k2+1)x2+4kmx+2(m2-1)=0,
由韦达定理得
x
1
+
x
2
=
-
4
km
2
k
2
+
1
2
(
m
2
-
1
)
2
k
2
+
1
∴C(
-
2
km
2
k
2
+
1
,
m
2
k
2
+
1
线段PQ的垂直平分线AB的方程为y-
m
2
k
2
+
1
1
k
2
km
2
k
2
+
1
令y=0,得A(-
km
2
k
2
+
1
-
m
2
k
2
+
1
∵
x
A
=
x
B
+
x
C
2
y
B
+
y
C
2
∴A为BC的中点.
(ii)y=-
2
3
3
3
【解答】
【点评】
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发布:2024/6/27 10:35:59组卷:491引用:4难度:0.4
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