已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点F的坐标为（1，0），离心率e=22．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点P、Q为椭圆上位于第一象限的两个动点，满足PF⊥QF，C为PQ的中点，线段PQ的垂直平分线分别交x轴、y轴于A、B两点．
（i）求证：A为BC的中点；
（ii）若S△ABOS△BCF=35（S为三角形的面积），求直线PQ的方程．
x
2
a
2
y
2
b
2
2
2
S
△
ABO
S
△
BCF
3
5
【答案】（Ⅰ）=1．
（Ⅱ）（i）证明：设点P、Q为椭圆上位于第一象限的两个动点，满足PF⊥QF，
C为PQ的中点，线段PQ的垂直平分线分别交x轴、y轴于A、B两点．
设直线PQ的方程为y=kx+m，（k≠0），
P（x1，y1），Q（x2，y2），联立
，
整理，得：（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0，
由韦达定理得，x1x2=，
∴C（），
线段PQ的垂直平分线AB的方程为y-=-（x+），
令y=0，得A（-，0），令x=0，得B（0，），
∵，yA=，
∴A为BC的中点．
（ii）y=-x+．
x
2
2
+
y
2
（Ⅱ）（i）证明：设点P、Q为椭圆上位于第一象限的两个动点，满足PF⊥QF，
C为PQ的中点，线段PQ的垂直平分线分别交x轴、y轴于A、B两点．
设直线PQ的方程为y=kx+m，（k≠0），
P（x1，y1），Q（x2，y2），联立
x 2 2 + y 2 = 1 |
y = kx + m |
整理，得：（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0，
由韦达定理得
x
1
+
x
2
=
-
4
km
2
k
2
+
1
2
（
m
2
-
1
）
2
k
2
+
1
∴C（
-
2
km
2
k
2
+
1
，
m
2
k
2
+
1
线段PQ的垂直平分线AB的方程为y-
m
2
k
2
+
1
1
k
2
km
2
k
2
+
1
令y=0，得A（-
km
2
k
2
+
1
-
m
2
k
2
+
1
∵
x
A
=
x
B
+
x
C
2
y
B
+
y
C
2
∴A为BC的中点．
（ii）y=-
2
3
3
3
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/6/27 10:35:59组卷：491引用：4难度：0.4
相似题
-
1．已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的一个顶点坐标为A（0，-1），离心率为x2a2+y2b2．32
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y=k（x-1）（k≠0）与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点B（1，0），求证：点M不在以AB为直径的圆上．发布：2024/12/29 12:30:1组卷：372引用：4难度：0.5 -
2．设椭圆
+x2a2=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为y2b2，|AB|=53．13
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，直线l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．发布：2024/12/29 12:30:1组卷：4575引用：26难度：0.3 -
3．如果椭圆
的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）x236+y29=1发布：2024/12/18 3:30:1组卷：460引用：3难度：0.6
