在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，焦距为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m（k,m∈R）与椭圆C相交于A，B两点，且kOA•kOB=-34．
①求证：△AOB的面积为定值；
②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．
x
2
a
2
y
2
b
2
1
2
3
4
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）；
（2）①证明：设A（x1，y1），（x2，y2），则A，B的坐标满足
，
整理得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．
∴x1+x2=-，x1x2=．
由Δ＞0，得4k2-m2+3＞0．
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，
=k2×+km（-）+m2，
=．
由kOA•kOB==-．，即y1y2=-x1x2，
∴=-×，即2m2-4k2=3．
∵丨AB丨==×=．
O到直线y=kx+m的距离d=，
∴S=×d×丨AB丨=××=×
=×=．为定值．
∴△AOB的面积为定值；
②不存在，理由如下：
若存在平行四边形OAPB使P在椭圆上，则=+，设P（x0，y0），
则x0=x1+x2=-，y0=y1+y2=，
由于P在椭圆上，则，从而化简得，即4m2=3+4k2，
由kOA•kOB=-，知2m2-4k2=3．
，解得方程组无解，
故不存在点P使OAPB为平行四边形．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）①证明：设A（x1，y1），（x2，y2），则A，B的坐标满足
y = kx + m |
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
整理得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．
∴x1+x2=-
8
km
3
+
4
k
2
4
m
2
-
12
3
+
4
k
2
由Δ＞0，得4k2-m2+3＞0．
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，
=k2×
4
m
2
-
12
3
+
4
k
2
8
km
3
+
4
k
2
=
3
m
2
-
12
k
2
3
+
4
k
2
由kOA•kOB=
y
1
y
2
x
1
x
2
3
4
y
1
y
2
x
1
x
2
3
4
∴
3
m
2
-
12
k
2
3
+
4
k
2
3
4
4
m
2
-
12
3
+
4
k
2
∵丨AB丨=
1
+
k
2
（
x
1
+
x
2
）
2
-
4
x
1
x
2
1
+
k
2
48
（
4
k
2
-
m
2
+
3
）
（
3
+
4
k
2
）
2
24
（
1
+
k
2
）
3
+
4
k
2
O到直线y=kx+m的距离d=
丨
m
丨
1
+
k
2
∴S=
1
2
1
2
丨
m
丨
1
+
k
2
24
（
1
+
k
2
）
3
+
4
k
2
1
2
m
2
1
+
k
2
×
2
（
1
+
k
2
）
3
+
4
k
2
=
1
2
3
+
4
k
2
2
×
24
3
+
4
k
2
3
∴△AOB的面积为定值；
②不存在，理由如下：
若存在平行四边形OAPB使P在椭圆上，则
OP
OA
OB
则x0=x1+x2=-
8
km
3
+
4
k
2
6
m
3
+
4
k
2
由于P在椭圆上，则
x
2
0
4
+
y
2
0
3
=
1
16
k
2
m
2
（
3
+
4
k
2
）
2
+
12
m
2
（
3
+
4
k
2
）
2
=
1
由kOA•kOB=-
3
4
4 m 2 = 3 + 4 k 2 |
2 m 2 - 4 k 2 = 3 |
故不存在点P使OAPB为平行四边形．
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/9/15 12:0:9组卷：173引用：3难度：0.5
相似题
-
1．已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的一个顶点坐标为A（0，-1），离心率为x2a2+y2b2．32
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y=k（x-1）（k≠0）与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点B（1，0），求证：点M不在以AB为直径的圆上．发布：2024/12/29 12:30:1组卷：371引用：4难度：0.5 -
2．设椭圆
+x2a2=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为y2b2，|AB|=53．13
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，直线l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．发布：2024/12/29 12:30:1组卷：4564引用：26难度：0.3 -
3．如果椭圆
的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）x236+y29=1发布：2024/12/18 3:30:1组卷：460引用：3难度：0.6
