已知点P（1，32）在椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上，F2为椭圆C的右焦点，A1，A2分别为椭圆C的左，右两个顶点．若过点B（4，0）且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M，N两点，且线段MA1，MA2的斜率之积为-34．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线A1M与A2N相交于点G，证明：G，P，F2三点共线．
P
（
1
，
3
2
）
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
-
3
4
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）；
（2）证明：由（1）可得PF2⊥x轴，要证G，P，F2三点共线，只需证GF2⊥x轴，即证xG=1，
设M（x1，y1），N（x2，y2），联解方程
，
可得，（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0，Δ＞0，
由韦达定理可得，，（*），
因为直线，，
即证：，即3k（x1-4）•（x2-2）=-k（x2-4）•（x1+2），
即证：4x1x2-10（x1+x2）+16=0，
将（*）代入上式可得⇔16k2-3-20k2+3+4k2=0，
此式明显成立，原命题得证，
所以G，P，F2三点共线．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）证明：由（1）可得PF2⊥x轴，要证G，P，F2三点共线，只需证GF2⊥x轴，即证xG=1，
设M（x1，y1），N（x2，y2），联解方程
y = k （ x - 4 ） |
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
可得，（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0，Δ＞0，
由韦达定理可得，
x
1
+
x
2
=
32
k
2
3
+
4
k
2
x
1
x
2
=
64
k
2
-
12
3
+
4
k
2
因为直线
l
A
1
M
：
y
=
y
1
x
1
+
2
（
x
+
2
）
l
A
2
N
：
y
=
y
2
x
2
-
2
（
x
-
2
）
即证：
3
y
1
x
1
+
2
=
-
y
2
x
2
-
2
即证：4x1x2-10（x1+x2）+16=0，
将（*）代入上式可得
4
×
（
64
k
2
-
12
）
3
+
4
k
2
-
10
×
32
k
2
3
+
4
k
2
+
16
=
0
此式明显成立，原命题得证，
所以G，P，F2三点共线．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：68引用：2难度：0.3
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