焦点在x轴上的椭圆C：x2a2+y2b2=1经过点（2，2），椭圆C的离心率为22．F1，F2是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点M为OF2的中点（O为坐标原点），过M且平行于OP的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数λ，使得λ|OP|2=|MA|•|MB|；若存在，请求出λ的值，若不存在，请说明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
2
，
2
）
2
2
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）．
（2）若直线的斜率不存在时，|OP|=2，，
所以；
当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立直线l与椭圆方程
，消去y，得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-8=0，
所以
．
因为OP∥l，设直线OP的方程为y=kx，
联立直线OP与椭圆方程
，消去y，得（2k2+1）x2=8，解得．
∴，∴，
同理，∴|MA|•|MB|=（1+k2）|（x1-1）（x2-1）|，
因为，∴，
故，存在满足条件，
综上可得，存在满足条件．
x
2
8
+
y
2
4
=
1
（2）若直线的斜率不存在时，|OP|=2，
|
MA
|
=
|
MB
|
=
14
2
所以
|
MA
|
|
MB
|
=
7
2
=
4
λ
⇒
λ
=
7
8
当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立直线l与椭圆方程
y = k （ x - 1 ） |
x 2 8 + y 2 4 = 1 |
所以
x 1 + x 2 = 4 k 2 2 k 2 + 1 |
x 1 x 2 = 2 k 2 - 8 2 k 2 + 1 |
因为OP∥l，设直线OP的方程为y=kx，
联立直线OP与椭圆方程
y = kx |
x 2 8 + y 2 4 = 1 |
x
2
=
8
2
k
2
+
1
∴
|
OP
|
2
=
x
2
+
y
2
=
（
1
+
k
2
）
8
2
k
2
+
1
|
MA
|
=
（
x
1
-
1
）
2
+
y
2
1
=
1
+
k
2
|
x
1
-
1
|
同理
|
MB
|
=
1
+
k
2
|
x
2
-
1
|
因为
（
1
-
x
1
）
•
（
x
2
-
1
）
=
-
[
x
1
x
2
-
（
x
1
+
x
2
）
+
1
]
=
7
2
k
2
+
1
|
MA
|
•
|
MB
|
=
（
1
+
k
2
）
7
2
k
2
+
1
故
7
8
|
OP
|
2
=
|
MA
|
•
|
MB
|
λ
=
7
8
综上可得，存在
λ
=
7
8
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/17 8:0:9组卷：128引用：7难度：0.5
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