已知椭圆C：x2a2+y2b2=l（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），离心率为12，直线l：y=k（x-4）（k≠0）与椭圆C交于不同两点M，N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证：直线MF的倾斜角与直线NF的倾斜角互补．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
1
2
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（Ⅰ）椭圆C的方程为=1．
（Ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），
由
，得（4k2+3）x2-32k2x+64k2-12=0，
依题意Δ=（-32k2）2-4（4k2+3）（64k2-12）＞0，
解得0＜k2＜，
∴，x1x2=，
当x1=1或x2=1时，得k2=，不符合题意．
∵kMF+kNF==+
===0，
∴直线MF的倾斜角与直线NF的倾斜角互补．
x
2
4
+
y
2
3
（Ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），
由
y = k （ x - 4 ） |
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
依题意Δ=（-32k2）2-4（4k2+3）（64k2-12）＞0，
解得0＜k2＜
1
4
∴
x
1
+
x
2
=
32
k
2
4
k
2
+
3
64
k
2
-
12
4
k
2
+
3
当x1=1或x2=1时，得k2=
1
4
∵kMF+kNF=
y
1
x
1
-
1
+
y
2
x
2
-
1
k
（
x
1
-
4
）
x
1
-
x
k
（
x
2
-
4
）
x
2
-
1
=
k
[
2
x
1
x
2
-
5
（
x
1
+
x
2
）
+
8
]
（
x
1
-
1
）
（
x
2
-
1
）
k
[
2
（
64
k
2
-
12
4
k
2
+
3
）
-
5
（
32
k
2
4
k
2
+
3
）
+
8
]
（
x
1
-
1
）
（
x
2
-
1
）
∴直线MF的倾斜角与直线NF的倾斜角互补．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：114引用：4难度：0.3
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