已知椭圆N：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点C（0，1），且离心率为22．
（1）求椭圆N的方程；
（2）直线l：y=kx-13与椭圆N的交点为A，B两点，线段AB的中点为M，是否存在常数λ，使∠AMC=λ•∠ABC恒成立，并说明理由．
x
2
a
2
y
2
b
2
2
2
1
3
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）；
（2）存在，理由：
由
，得（9+18k2）x2-12kx-16=0．
Δ＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，．
∵，，
∴=x1x2+
=
=．
∴．
∵线段AB的中点为M，∴|MC|=|MB|，则∠AMC=2∠ABC．
即存在常数入=2，使∠AMC=λ•∠ABC恒成立．
x
2
2
+
y
2
=
1
（2）存在，理由：
由
y = kx - 1 3 |
x 2 2 + y 2 = 1 |
Δ＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
x
1
+
x
2
=
12
k
9
+
18
k
2
x
1
x
2
=
-
16
9
+
18
k
2
∵
CA
=
（
x
1
，
y
1
-
1
）
CB
=
（
x
2
，
y
2
-
1
）
∴
CA
•
CB
=
x
1
x
2
+
（
y
1
-
1
）
（
y
2
-
1
）
（
k
x
1
-
4
3
）
（
k
x
2
-
4
3
）
=
（
1
+
k
2
）
x
1
x
2
-
4
3
k
（
x
1
+
x
2
）
+
16
0
=
（
1
+
k
2
）
•
-
16
9
+
18
k
2
-
4
3
k
•
12
k
9
+
18
k
2
+
16
9
=
0
∴
CA
⊥
CB
∵线段AB的中点为M，∴|MC|=|MB|，则∠AMC=2∠ABC．
即存在常数入=2，使∠AMC=λ•∠ABC恒成立．
【解答】
【点评】
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