已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点F1（-3，0），点Q（1，32）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）经过圆O：x2+y2=5上一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆O相交于异于点P的M，N两点．
（i）当直线PA，PB的斜率都存在时，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2．求证：k1k2=-1；
（ii）求|AB||MN|的取值范围．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
F
1
（
-
3
，
0
）
Q
（
1
，
3
2
）
|
AB
|
|
MN
|
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）（i）证明：设点P（x0，y0），设过点P与椭圆C相切的直线方程为y=k（x-x0）+y0．
由
，消去y，得（1+4k2）x2+8k（y0-kx0）x+4（y0-kx0）2-4=0，
Δ=64k2（y0-kx0）2-4（4k2+1）[4（y0-kx0）2-4]．
令Δ=0，整理得．
由已知，则．
又，
∴．
（ii）．
x
2
4
+
y
2
=
1
（Ⅱ）（i）证明：设点P（x0，y0），设过点P与椭圆C相切的直线方程为y=k（x-x0）+y0．
由
y = k （ x - x 0 ） + y 0 |
x 2 + 4 y 2 - 4 = 0 |
Δ=64k2（y0-kx0）2-4（4k2+1）[4（y0-kx0）2-4]．
令Δ=0，整理得
（
4
-
x
2
0
）
k
2
+
2
x
0
y
0
k
+
1
-
y
2
0
=
0
由已知，则
k
1
k
2
=
1
-
y
2
0
4
-
x
2
0
又
x
2
0
+
y
2
0
=
5
∴
k
1
k
2
=
1
-
（
5
-
x
2
0
）
4
-
x
2
0
=
x
2
0
-
4
4
-
x
2
0
=
-
1
（ii）
[
1
5
，
4
5
]
【解答】
【点评】
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